Номер 12, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Что называют мерами центральной тенденции совокупности данных?

Меры центральной тенденции — это числовые характеристики, которые описывают типичное или центральное значение для совокупности данных. Они позволяют одним числом представить общую тенденцию в распределении данных, указывая на его «центр тяжести». Основными мерами центральной тенденции являются среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое (часто называемое просто "средним") — это наиболее распространенная мера центральной тенденции. Она вычисляется путем суммирования всех значений в наборе данных и деления этой суммы на количество значений.

Формула для расчета среднего арифметического ($ \bar{x} $) для совокупности данных $ x_1, x_2, \dots, x_n $, состоящей из $ n $ элементов:
$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $

Пример: Найдем среднее арифметическое для набора данных {4, 8, 3, 4, 6}.
Сумма значений: $ 4 + 8 + 3 + 4 + 6 = 25 $.
Количество значений: 5.
Среднее арифметическое: $ \bar{x} = \frac{25}{5} = 5 $.

Недостатком среднего арифметического является его чувствительность к выбросам — экстремально большим или малым значениям, которые могут сильно исказить результат.

Ответ: Среднее арифметическое — это число, равное отношению суммы всех чисел совокупности к их количеству.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части. Половина данных будет меньше медианы, а другая половина — больше. В отличие от среднего, медиана устойчива к выбросам.

Для нахождения медианы необходимо:

1. Упорядочить все значения в наборе данных по возрастанию (или убыванию).
2. Найти значение, которое находится ровно посередине.

• Если количество значений нечетное, медианой является центральное число в упорядоченном ряду.
  Пример: Для набора {3, 9, 1, 5, 2} сначала упорядочим его: {1, 2, 3, 5, 9}. Медиана — 3.
• Если количество значений четное, медианой является среднее арифметическое двух центральных чисел.
  Пример: Для набора {8, 1, 4, 6, 2, 10} упорядочим его: {1, 2, 4, 6, 8, 10}. Медиана — это $ \frac{4 + 6}{2} = 5 $.

Ответ: Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию или убыванию ряда данных.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Набор данных может иметь одну моду (унимодальный), две моды (бимодальный), несколько мод (мультимодальный) или не иметь моды вовсе, если все значения встречаются одинаковое количество раз.

Примеры:

• В наборе {2, 5, 8, 5, 1, 5, 3} модой является число 5, так как оно встречается три раза — чаще других.
• В наборе {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5} есть две моды: 2 и 4.
• В наборе {1, 2, 3, 4, 5} моды нет, так как все значения встречаются по одному разу.

Мода является единственной мерой центральной тенденции, которую можно применять для качественных (категориальных) данных (например, "синий" может быть модой в опросе о любимом цвете).

Ответ: Мода — это значение из совокупности данных, которое встречается наиболее часто.