Номер 7, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Приведите примеры, когда статистическая информация в форме средних значений неточно отображает ситуацию.

Статистическая информация в форме среднего арифметического значения может неточно или даже ложно отображать реальную ситуацию. Это происходит в основном тогда, когда в наборе данных присутствуют так называемые выбросы — значения, которые значительно отличаются от большинства других. Среднее арифметическое очень чувствительно к таким выбросам и может сильно смещаться в их сторону, создавая искаженное представление о типичном значении в выборке. В таких случаях для более точной оценки ситуации лучше использовать другие меры центральной тенденции, такие как медиана (значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных) или мода (наиболее часто встречающееся значение).

Вот несколько наглядных примеров.

Пример 1: Средняя заработная плата

Представим себе небольшую компанию, в которой работает 10 человек. 9 сотрудников получают зарплату в 50 000 рублей, а директор компании — 500 000 рублей. Посчитаем среднюю заработную плату по компании.

Расчет среднего значения:$Z_{ср} = \frac{9 \times 50000 + 500000}{10} = \frac{450000 + 500000}{10} = \frac{950000}{10} = 95000 \text{ рублей}$

Средняя зарплата составляет 95 000 рублей. Эта цифра создает впечатление, что сотрудники в компании зарабатывают довольно хорошо. Однако на самом деле 90% сотрудников получают зарплату почти в два раза ниже этого среднего значения. Медианная же зарплата в этом случае будет равна 50 000 рублей, что гораздо точнее отражает доход типичного сотрудника.

Ответ: Среднее значение заработной платы, завышенное из-за одного очень высокого оклада, не отражает реальный уровень доходов большинства работников.

Пример 2: "Средняя температура по больнице"

Это классический пример, который стал крылатым выражением. Допустим, в палате 10 пациентов. У восьми из них нормальная температура тела — 36.6°C. У одного пациента сильный жар — 41°C. А один пациент, к сожалению, умер, и его тело остыло до 20°C. Найдем среднюю температуру по палате.

Расчет среднего значения:$T_{ср} = \frac{8 \times 36.6 + 41 + 20}{10} = \frac{292.8 + 41 + 20}{10} = \frac{353.8}{10} = 35.38 \text{°C}$

Среднее значение 35.38°C находится в пределах нормы для человека. Глядя только на эту цифру, можно сделать совершенно неверный вывод, что в целом ситуация в палате удовлетворительная. Однако на самом деле эта цифра скрывает как критическое состояние одного больного, так и летальный исход другого.

Ответ: Среднее значение полностью маскирует критические отклонения от нормы в данных и приводит к абсурдной и неверной оценке общей картины.

Пример 3: Оценки ученика

Ученик в течение четверти получал по математике следующие оценки: 5, 5, 5, 5, 2. Двойку он получил за контрольную, которую пропустил по болезни и написал позже в сложных условиях. Посчитаем средний балл.

Расчет среднего значения:$Б_{ср} = \frac{5 + 5 + 5 + 5 + 2}{5} = \frac{22}{5} = 4.4$

Средний балл 4.4 не позволяет поставить ученику итоговую оценку "5", хотя подавляющее большинство его оценок — это пятерки, и они лучше отражают его уровень знаний. Мода (наиболее частая оценка) в этом ряду равна 5. Единственная низкая оценка (выброс) сильно "портит" среднее значение.

Ответ: Единственный случайный или нетипичный низкий результат непропорционально сильно снижает средний балл, неточно отражая реальную успеваемость ученика.

Пример 4: Цены на недвижимость

Предположим, мы хотим узнать среднюю цену однокомнатной квартиры в некотором районе города. За последний месяц было продано 5 квартир по следующим ценам: 3 млн руб., 3.2 млн руб., 3.5 млн руб., 3.3 млн руб. и одна элитная квартира-студия в пентхаусе за 20 млн руб.

Расчет среднего значения:$Ц_{ср} = \frac{3 + 3.2 + 3.5 + 3.3 + 20}{5} = \frac{33}{5} = 6.6 \text{ млн рублей}$

Средняя цена в 6.6 млн рублей значительно выше стоимости большинства проданных квартир. Покупатель, ориентирующийся на это среднее значение, получит неверное представление о рынке и может решить, что жилье в этом районе ему не по карману, хотя на самом деле 4 из 5 квартир стоили почти в два раза дешевле.

Ответ: Наличие одного крайне дорогого объекта (выброса) в выборке искусственно завышает среднюю цену, делая ее бесполезной для оценки стоимости типичного жилья в данном районе.