Номер 664, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

664. Решите уравнение

$c \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} = x.$

Для того чтобы исходное уравнение имело смысл, необходимо, чтобы все знаменатели в дробях были отличны от нуля. Это накладывает следующие условия на параметры $a, b, c$:

$c-a \neq 0 \implies c \neq a$

$c-b \neq 0 \implies c \neq b$

$b-a \neq 0 \implies b \neq a$

$b-c \neq 0 \implies b \neq c$

$a-b \neq 0 \implies a \neq b$

$a-c \neq 0 \implies a \neq c$

Таким образом, все три параметра должны быть попарно различны: $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$.

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию от $x$ и обозначим ее $P(x)$:

$P(x) = c \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}$

Функция $P(x)$ является многочленом от $x$. Поскольку каждое слагаемое содержит произведение двух линейных множителей вида $(x-k_1)(x-k_2)$, степень этого многочлена не превышает 2.

Данное выражение является интерполяционным многочленом Лагранжа. Найдем значения этого многочлена в точках $x=a$, $x=b$ и $x=c$.

При $x=a$:

$P(a) = c \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(a-a)(a-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} = 0 + 0 + a \cdot 1 = a$

При $x=b$:

$P(b) = c \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(b-a)(b-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} = 0 + b \cdot 1 + 0 = b$

При $x=c$:

$P(c) = c \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(c-a)(c-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)} = c \cdot 1 + 0 + 0 = c$

Исходное уравнение имеет вид $P(x) = x$. Рассмотрим вспомогательную функцию $D(x) = P(x) - x$.

$D(x)$ также является многочленом, степень которого не превышает 2.

Найдем значения $D(x)$ в точках $a, b, c$:

$D(a) = P(a) - a = a - a = 0$

$D(b) = P(b) - b = b - b = 0$

$D(c) = P(c) - c = c - c = 0$

Мы получили, что $x=a$, $x=b$ и $x=c$ являются корнями многочлена $D(x)$. Поскольку параметры $a, b, c$ попарно различны, многочлен $D(x)$ имеет три различных корня.

Согласно основной теореме алгебры, ненулевой многочлен степени $n$ может иметь не более $n$ корней. Так как $D(x)$ — многочлен степени не выше 2, но имеет три различных корня, он должен быть тождественно равен нулю, то есть $D(x) \equiv 0$ для всех значений $x$.

Из $D(x) = 0$ следует, что $P(x) - x = 0$, или $P(x) = x$ для любого $x$.

Таким образом, исходное уравнение является тождеством, и оно справедливо для любого значения $x$ при условии, что параметры $a, b, c$ попарно различны.

Ответ: При условии, что $a \neq b, b \neq c, a \neq c$, решением уравнения является любое число. Если какие-либо два из параметров $a, b, c$ равны, уравнение не определено.