Номер 663, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

663. Постройте график функции:

1) $y = \frac{6}{x} + 2;$

2) $y = -\frac{8}{x} - 3;$

3) $y = \frac{4}{x - 3};$

4) $y = -\frac{6}{x + 2}.$

1) $y = \frac{6}{x} + 2$

Чтобы построить график функции $y = \frac{6}{x} + 2$, мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$.

1. Базовая функция и ее график.

   Базовой функцией является $y = \frac{6}{x}$. Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях относительно своих асимптот.

2. Преобразование графика.

   Функция $y = \frac{6}{x} + 2$ получается из графика $y = \frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх.

3. Асимптоты.

   У базовой функции $y = \frac{6}{x}$ асимптоты — это оси координат: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$. При сдвиге на 2 вверх вертикальная асимптота не меняется, а горизонтальная сдвигается.

   • Вертикальная асимптота: $x=0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=2$.
4. Контрольные точки.

   Для более точного построения найдем несколько точек. Найдем пересечение с осью $Ox$ (для этого $y=0$):
   $0 = \frac{6}{x} + 2 \implies \frac{6}{x} = -2 \implies x = -3$.
   Точка пересечения с осью $Ox$: $(-3, 0)$.
   С осью $Oy$ пересечения нет, так как $x=0$ является вертикальной асимптотой.

   Составим таблицу значений:

   $x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
   $y$	1	0	-1	-4	8	5	4	3

   Для построения графика сначала чертим асимптоты $x=0$ и $y=2$ пунктирными линиями. Затем отмечаем вычисленные точки и соединяем их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x} + 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=2$. Ветви графика расположены в новой системе координат (с центром в точке $(0, 2)$) так же, как ветви $y = \frac{6}{x}$ в стандартной системе.

2) $y = -\frac{8}{x} - 3$

Построение графика функции $y = -\frac{8}{x} - 3$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = -\frac{8}{x}$.

1. Базовая функция и ее график.

   Базовая функция — $y = -\frac{8}{x}$. Это гипербола. Так как коэффициент $k=-8$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

2. Преобразование графика.

   Функция $y = -\frac{8}{x} - 3$ получается из графика $y = -\frac{8}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз.

3. Асимптоты.

   При сдвиге на 3 вниз вертикальная асимптота $x=0$ не меняется, а горизонтальная $y=0$ сдвигается.

   • Вертикальная асимптота: $x=0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=-3$.
4. Контрольные точки.

   Найдем пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):
   $0 = -\frac{8}{x} - 3 \implies -\frac{8}{x} = 3 \implies x = -\frac{8}{3}$.
   Точка пересечения с осью $Ox$: $(-\frac{8}{3}, 0)$.
   С осью $Oy$ пересечения нет ($x \neq 0$).

   Составим таблицу значений:

   $x$	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
   $y$	-2	-1	1	5	-11	-7	-5	-4

   Строим асимптоты $x=0$ и $y=-3$. Отмечаем точки из таблицы и плавно соединяем их, получая ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = -\frac{8}{x} - 3$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{8}{x}$ на 3 единицы вниз. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная — $y=-3$. Ветви расположены в квадрантах, образованных этими асимптотами, аналогично II и IV четвертям.

3) $y = \frac{4}{x - 3}$

Построение графика функции $y = \frac{4}{x-3}$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = \frac{4}{x}$.

1. Базовая функция и ее график.

   Базовая функция — $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях ($k=4 > 0$).

2. Преобразование графика.

   Функция $y = \frac{4}{x-3}$ получается из графика $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо.

3. Асимптоты.

   При сдвиге на 3 вправо горизонтальная асимптота $y=0$ не меняется, а вертикальная $x=0$ сдвигается.

   • Вертикальная асимптота: $x-3=0 \implies x=3$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$.
4. Контрольные точки.

   Найдем пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
   $y = \frac{4}{0-3} = -\frac{4}{3}$.
   Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -\frac{4}{3})$.
   С осью $Ox$ пересечения нет, так как $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

   Составим таблицу значений:

   $x$	-1	1	2	4	5	7
   $y$	-1	-2	-4	4	2	1

   Строим асимптоты $x=3$ и $y=0$. Отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавными кривыми.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x - 3}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 3 единицы вправо по оси $Ox$. Вертикальная асимптота — $x=3$, горизонтальная — $y=0$.

4) $y = -\frac{6}{x + 2}$

Построение графика функции $y = -\frac{6}{x + 2}$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = -\frac{6}{x}$.

1. Базовая функция и ее график.

   Базовая функция — $y = -\frac{6}{x}$. Это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях ($k=-6 < 0$).

2. Преобразование графика.

   Функция $y = -\frac{6}{x + 2}$ получается из графика $y = -\frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 2 единицы влево.

3. Асимптоты.

   При сдвиге на 2 влево горизонтальная асимптота $y=0$ не меняется, а вертикальная $x=0$ сдвигается.

   • Вертикальная асимптота: $x+2=0 \implies x=-2$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$.
4. Контрольные точки.

   Найдем пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
   $y = -\frac{6}{0+2} = -3$.
   Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -3)$.
   С осью $Ox$ пересечения нет, так как $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

   Составим таблицу значений:

   $x$	-5	-4	-3	-1	0	1	4
   $y$	2	3	6	-6	-3	-2	-1

   Строим асимптоты $x=-2$ и $y=0$. Отмечаем точки из таблицы и соединяем их, получая две ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = -\frac{6}{x + 2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{6}{x}$ на 2 единицы влево по оси $Ox$. Вертикальная асимптота — $x=-2$, горизонтальная — $y=0$.