Номер 656, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

656. Какова вероятность того, что при двух бросках игрального кубика:

1) в первый раз выпадет число, которое меньше 5, а во второй – больше 4;

2) шестёрка выпадет только во второй раз;

3) в первый раз выпадет больше очков, чем во второй?

1) в первый раз выпадет число, которое меньше 5, а во второй — больше 4;
При броске игрального кубика может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как кубик бросают дважды, общее количество равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.
Определим события:
Событие A: "при первом броске выпало число меньше 5". Благоприятными для этого события являются исходы {1, 2, 3, 4}. Количество благоприятных исходов равно 4. Вероятность события A: $P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Событие B: "при втором броске выпало число больше 4". Благоприятными для этого события являются исходы {5, 6}. Количество благоприятных исходов равно 2. Вероятность события B: $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Поскольку броски кубика являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:
$P = P(A) \times P(B) = \frac{4}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$

2) шестёрка выпадет только во второй раз;
Это событие означает, что при первом броске не выпала шестёрка, а при втором — выпала.
Вероятность того, что при первом броске НЕ выпадет шестёрка (то есть выпадет любое из чисел {1, 2, 3, 4, 5}), равна $\frac{5}{6}$.
Вероятность того, что при втором броске выпадет шестёрка, равна $\frac{1}{6}$.
Так как события независимы, искомая вероятность равна произведению вероятностей этих двух событий:
$P = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$

3) в первый раз выпадет больше очков, чем во второй?
Пусть $x$ — число очков при первом броске, а $y$ — при втором. Нам нужно найти вероятность события $x > y$. Общее число исходов по-прежнему 36.
Можно решить задачу, рассмотрев все возможные исходы. Все исходы можно разделить на три непересекающиеся группы:
1. В первый раз выпало больше очков, чем во второй ($x > y$).
2. Во второй раз выпало больше очков, чем в первый ($y > x$).
3. Выпало одинаковое количество очков ($x = y$).
События $x > y$ и $y > x$ симметричны, поэтому их вероятности равны: $P(x > y) = P(y > x)$.
Найдем вероятность события $x = y$. Благоприятными исходами являются пары (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 6 благоприятных исходов.
Вероятность $P(x=y) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Сумма вероятностей всех трех групп равна 1:
$P(x > y) + P(y > x) + P(x = y) = 1$
$2 \times P(x > y) + \frac{1}{6} = 1$
$2 \times P(x > y) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
$P(x > y) = \frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$