Номер 661, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

661. Упростите выражение

$(\frac{9a^2}{a^3 + 64} - \frac{a + 4}{a^2 - 4a + 16}) : \frac{8a + 8}{a^2 - 4a + 16} + \frac{a + 10}{a + 4}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку: сначала выполним вычитание в скобках, затем деление и в конце — сложение.

1. Выполним действие в скобках: $ \left( \frac{9a^2}{a^3 + 64} - \frac{a+4}{a^2 - 4a + 16} \right) $.

Знаменатель первой дроби $ a^3 + 64 $ можно разложить по формуле суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $:

$ a^3 + 64 = a^3 + 4^3 = (a+4)(a^2 - 4a + 16) $.

Таким образом, общий знаменатель для дробей в скобках — это $ (a+4)(a^2 - 4a + 16) $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (a+4) $:

$ \frac{9a^2}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} - \frac{(a+4)(a+4)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} = \frac{9a^2 - (a+4)^2}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $:

$ 9a^2 - (a^2 + 8a + 16) = 9a^2 - a^2 - 8a - 16 = 8a^2 - 8a - 16 $

Вынесем общий множитель 8 за скобки и разложим полученный квадратный трехчлен $ a^2 - a - 2 $ на множители. Корни уравнения $ a^2 - a - 2 = 0 $ по теореме Виета равны $ a_1 = 2 $ и $ a_2 = -1 $, поэтому $ a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1) $.

Числитель примет вид: $ 8(a-2)(a+1) $.

Результат первого действия:

$ \frac{8(a-2)(a+1)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} $

2. Выполним деление:

Разделим результат первого действия на дробь $ \frac{8a+8}{a^2 - 4a + 16} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Сначала разложим числитель делителя на множители: $ 8a+8 = 8(a+1) $.

$ \frac{8(a-2)(a+1)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} : \frac{8(a+1)}{a^2 - 4a + 16} = \frac{8(a-2)(a+1)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} \cdot \frac{a^2 - 4a + 16}{8(a+1)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ 8 $, $ (a+1) $ и $ (a^2 - 4a + 16) $.

$ \frac{\cancel{8}(a-2)\cancel{(a+1)}}{(a+4)\cancel{(a^2 - 4a + 16)}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - 4a + 16}}{\cancel{8}\cancel{(a+1)}} = \frac{a-2}{a+4} $

3. Выполним сложение:

К результату второго действия прибавим последнюю дробь из исходного выражения:

$ \frac{a-2}{a+4} + \frac{a+10}{a+4} $

Так как знаменатели у дробей одинаковые, сложим их числители:

$ \frac{(a-2) + (a+10)}{a+4} = \frac{a+a-2+10}{a+4} = \frac{2a+8}{a+4} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(a+4)}{a+4} $

Сократим дробь на $ (a+4) $ (при допустимых значениях $ a $, где $ a \neq -4 $):

$ 2 $

Ответ: 2