Страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

660. Эксперимент состоит в одновременном бросании четырёх игральных кубиков. Найдите вероятность того, что выпадут четыре одинаковые цифры.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = m/n$, где $n$ — это общее число всех равновозможных исходов эксперимента, а $m$ — это число исходов, которые благоприятствуют событию $A$.

В нашем случае эксперимент заключается в одновременном бросании четырёх игральных кубиков. Событие $A$ — это выпадение четырёх одинаковых цифр.

1. Найдём общее число всех возможных исходов $n$. У каждого игрального кубика 6 граней, поэтому при броске одного кубика возможно 6 различных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Поскольку бросают четыре кубика, и результаты бросков независимы друг от друга, общее число всех возможных комбинаций находится перемножением числа исходов для каждого кубика. Таким образом, общее число исходов равно: $n = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$.

2. Найдём число благоприятных исходов $m$. Благоприятным исходом считается ситуация, когда на всех четырёх кубиках выпадает одно и то же число. Перечислим эти исходы:

• (1, 1, 1, 1) — на всех кубиках выпала единица;
• (2, 2, 2, 2) — на всех кубиках выпала двойка;
• (3, 3, 3, 3) — на всех кубиках выпала тройка;
• (4, 4, 4, 4) — на всех кубиках выпала четвёрка;
• (5, 5, 5, 5) — на всех кубиках выпала пятёрка;
• (6, 6, 6, 6) — на всех кубиках выпала шестёрка.

Всего таких исходов 6. Следовательно, $m = 6$.

3. Вычислим вероятность события $A$. Подставляем найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности: $P(A) = m/n = 6 / 1296$.

Сократим полученную дробь: $P(A) = 1 / 216$.

Ответ: $1/216$

661. Упростите выражение

$(\frac{9a^2}{a^3 + 64} - \frac{a + 4}{a^2 - 4a + 16}) : \frac{8a + 8}{a^2 - 4a + 16} + \frac{a + 10}{a + 4}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку: сначала выполним вычитание в скобках, затем деление и в конце — сложение.

1. Выполним действие в скобках: $ \left( \frac{9a^2}{a^3 + 64} - \frac{a+4}{a^2 - 4a + 16} \right) $.

Знаменатель первой дроби $ a^3 + 64 $ можно разложить по формуле суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $:

$ a^3 + 64 = a^3 + 4^3 = (a+4)(a^2 - 4a + 16) $.

Таким образом, общий знаменатель для дробей в скобках — это $ (a+4)(a^2 - 4a + 16) $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (a+4) $:

$ \frac{9a^2}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} - \frac{(a+4)(a+4)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} = \frac{9a^2 - (a+4)^2}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $:

$ 9a^2 - (a^2 + 8a + 16) = 9a^2 - a^2 - 8a - 16 = 8a^2 - 8a - 16 $

Вынесем общий множитель 8 за скобки и разложим полученный квадратный трехчлен $ a^2 - a - 2 $ на множители. Корни уравнения $ a^2 - a - 2 = 0 $ по теореме Виета равны $ a_1 = 2 $ и $ a_2 = -1 $, поэтому $ a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1) $.

Числитель примет вид: $ 8(a-2)(a+1) $.

Результат первого действия:

$ \frac{8(a-2)(a+1)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} $

2. Выполним деление:

Разделим результат первого действия на дробь $ \frac{8a+8}{a^2 - 4a + 16} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Сначала разложим числитель делителя на множители: $ 8a+8 = 8(a+1) $.

$ \frac{8(a-2)(a+1)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} : \frac{8(a+1)}{a^2 - 4a + 16} = \frac{8(a-2)(a+1)}{(a+4)(a^2 - 4a + 16)} \cdot \frac{a^2 - 4a + 16}{8(a+1)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ 8 $, $ (a+1) $ и $ (a^2 - 4a + 16) $.

$ \frac{\cancel{8}(a-2)\cancel{(a+1)}}{(a+4)\cancel{(a^2 - 4a + 16)}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - 4a + 16}}{\cancel{8}\cancel{(a+1)}} = \frac{a-2}{a+4} $

3. Выполним сложение:

К результату второго действия прибавим последнюю дробь из исходного выражения:

$ \frac{a-2}{a+4} + \frac{a+10}{a+4} $

Так как знаменатели у дробей одинаковые, сложим их числители:

$ \frac{(a-2) + (a+10)}{a+4} = \frac{a+a-2+10}{a+4} = \frac{2a+8}{a+4} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(a+4)}{a+4} $

Сократим дробь на $ (a+4) $ (при допустимых значениях $ a $, где $ a \neq -4 $):

$ 2 $

Ответ: 2

662. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2};$

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}};$

3) $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2} + \frac{1}{x^2 - 9};$

4) $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2} + \frac{2}{x^2 + 2x}.$

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$3 - 5x - 2x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$2x^2 + 5x - 3 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

$x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $2x^2 + 5x - 3 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции - это все значения $x$, удовлетворяющие условию $-3 \le x \le 0,5$.

Ответ: $x \in [-3; 0,5]$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}$ выражение под корнем должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе и деление на ноль недопустимо.

Решим строгое неравенство:

$3 - 5x - 2x^2 > 0$

Эквивалентное неравенство:

$2x^2 + 5x - 3 < 0$

Корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$ найдены в предыдущем пункте: $x_1 = -3$ и $x_2 = 0,5$.

Так как ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 3$ направлены вверх, неравенство $2x^2 + 5x - 3 < 0$ выполняется на интервале строго между корнями.

Следовательно, область определения функции - это все значения $x$, удовлетворяющие условию $-3 < x < 0,5$.

Ответ: $x \in (-3; 0,5)$.

3) Область определения функции $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2} + \frac{1}{x^2 - 9}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.

1. Для слагаемого $\sqrt{3 - 5x - 2x^2}$ область определения, как найдено в пункте 1, есть $x \in [-3; 0,5]$.

2. Для слагаемого $\frac{1}{x^2 - 9}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 9 \ne 0$

$x^2 \ne 9$

$x \ne 3$ и $x \ne -3$.

Теперь необходимо найти пересечение этих двух условий: $x \in [-3; 0,5]$ и $x \ne \pm 3$.

Точка $x=3$ не входит в отрезок $[-3; 0,5]$, поэтому это условие не влияет на результат.

Точка $x=-3$ является левой границей отрезка, и ее необходимо исключить, так как в этой точке знаменатель второго слагаемого обращается в ноль.

Таким образом, итоговая область определения: $(-3; 0,5]$.

Ответ: $x \in (-3; 0,5]$.

4) Область определения функции $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2} + \frac{2}{x^2 + 2x}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.

1. Для слагаемого $\sqrt{3 - 5x - 2x^2}$ область определения, найденная в пункте 1, есть $x \in [-3; 0,5]$.

2. Для слагаемого $\frac{2}{x^2 + 2x}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 + 2x \ne 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 2) \ne 0$.

Отсюда $x \ne 0$ и $x \ne -2$.

Найдем пересечение условий: $x \in [-3; 0,5]$ и $x \ne 0, x \ne -2$.

Обе точки $x=0$ и $x=-2$ находятся внутри отрезка $[-3; 0,5]$. Следовательно, их необходимо исключить из области определения.

Разбиваем отрезок $[-3; 0,5]$ в точках $-2$ и $0$, получая объединение трех промежутков.

Итоговая область определения: $[-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 0,5]$.

Ответ: $x \in [-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 0,5]$.

663. Постройте график функции:

1) $y = \frac{6}{x} + 2;$

2) $y = -\frac{8}{x} - 3;$

3) $y = \frac{4}{x - 3};$

4) $y = -\frac{6}{x + 2}.$

1) $y = \frac{6}{x} + 2$

Чтобы построить график функции $y = \frac{6}{x} + 2$, мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$.

1. Базовая функция и ее график.

   Базовой функцией является $y = \frac{6}{x}$. Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях относительно своих асимптот.

2. Преобразование графика.

   Функция $y = \frac{6}{x} + 2$ получается из графика $y = \frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх.

3. Асимптоты.

   У базовой функции $y = \frac{6}{x}$ асимптоты — это оси координат: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$. При сдвиге на 2 вверх вертикальная асимптота не меняется, а горизонтальная сдвигается.

   • Вертикальная асимптота: $x=0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=2$.
4. Контрольные точки.

   Для более точного построения найдем несколько точек. Найдем пересечение с осью $Ox$ (для этого $y=0$):
   $0 = \frac{6}{x} + 2 \implies \frac{6}{x} = -2 \implies x = -3$.
   Точка пересечения с осью $Ox$: $(-3, 0)$.
   С осью $Oy$ пересечения нет, так как $x=0$ является вертикальной асимптотой.

   Составим таблицу значений:

   $x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
   $y$	1	0	-1	-4	8	5	4	3

   Для построения графика сначала чертим асимптоты $x=0$ и $y=2$ пунктирными линиями. Затем отмечаем вычисленные точки и соединяем их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x} + 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=2$. Ветви графика расположены в новой системе координат (с центром в точке $(0, 2)$) так же, как ветви $y = \frac{6}{x}$ в стандартной системе.

2) $y = -\frac{8}{x} - 3$

Построение графика функции $y = -\frac{8}{x} - 3$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = -\frac{8}{x}$.

1. Базовая функция и ее график.

   Базовая функция — $y = -\frac{8}{x}$. Это гипербола. Так как коэффициент $k=-8$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

2. Преобразование графика.

   Функция $y = -\frac{8}{x} - 3$ получается из графика $y = -\frac{8}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз.

3. Асимптоты.

   При сдвиге на 3 вниз вертикальная асимптота $x=0$ не меняется, а горизонтальная $y=0$ сдвигается.

   • Вертикальная асимптота: $x=0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=-3$.
4. Контрольные точки.

   Найдем пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):
   $0 = -\frac{8}{x} - 3 \implies -\frac{8}{x} = 3 \implies x = -\frac{8}{3}$.
   Точка пересечения с осью $Ox$: $(-\frac{8}{3}, 0)$.
   С осью $Oy$ пересечения нет ($x \neq 0$).

   Составим таблицу значений:

   $x$	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
   $y$	-2	-1	1	5	-11	-7	-5	-4

   Строим асимптоты $x=0$ и $y=-3$. Отмечаем точки из таблицы и плавно соединяем их, получая ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = -\frac{8}{x} - 3$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{8}{x}$ на 3 единицы вниз. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная — $y=-3$. Ветви расположены в квадрантах, образованных этими асимптотами, аналогично II и IV четвертям.

3) $y = \frac{4}{x - 3}$

Построение графика функции $y = \frac{4}{x-3}$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = \frac{4}{x}$.

1. Базовая функция и ее график.

   Базовая функция — $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях ($k=4 > 0$).

2. Преобразование графика.

   Функция $y = \frac{4}{x-3}$ получается из графика $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо.

3. Асимптоты.

   При сдвиге на 3 вправо горизонтальная асимптота $y=0$ не меняется, а вертикальная $x=0$ сдвигается.

   • Вертикальная асимптота: $x-3=0 \implies x=3$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$.
4. Контрольные точки.

   Найдем пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
   $y = \frac{4}{0-3} = -\frac{4}{3}$.
   Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -\frac{4}{3})$.
   С осью $Ox$ пересечения нет, так как $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

   Составим таблицу значений:

   $x$	-1	1	2	4	5	7
   $y$	-1	-2	-4	4	2	1

   Строим асимптоты $x=3$ и $y=0$. Отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавными кривыми.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x - 3}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 3 единицы вправо по оси $Ox$. Вертикальная асимптота — $x=3$, горизонтальная — $y=0$.

4) $y = -\frac{6}{x + 2}$

Построение графика функции $y = -\frac{6}{x + 2}$ выполняется путем преобразования графика базовой функции $y = -\frac{6}{x}$.

1. Базовая функция и ее график.

   Базовая функция — $y = -\frac{6}{x}$. Это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях ($k=-6 < 0$).

2. Преобразование графика.

   Функция $y = -\frac{6}{x + 2}$ получается из графика $y = -\frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 2 единицы влево.

3. Асимптоты.

   При сдвиге на 2 влево горизонтальная асимптота $y=0$ не меняется, а вертикальная $x=0$ сдвигается.

   • Вертикальная асимптота: $x+2=0 \implies x=-2$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$.
4. Контрольные точки.

   Найдем пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
   $y = -\frac{6}{0+2} = -3$.
   Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -3)$.
   С осью $Ox$ пересечения нет, так как $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

   Составим таблицу значений:

   $x$	-5	-4	-3	-1	0	1	4
   $y$	2	3	6	-6	-3	-2	-1

   Строим асимптоты $x=-2$ и $y=0$. Отмечаем точки из таблицы и соединяем их, получая две ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = -\frac{6}{x + 2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{6}{x}$ на 2 единицы влево по оси $Ox$. Вертикальная асимптота — $x=-2$, горизонтальная — $y=0$.

664. Решите уравнение

$c \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} = x.$

Для того чтобы исходное уравнение имело смысл, необходимо, чтобы все знаменатели в дробях были отличны от нуля. Это накладывает следующие условия на параметры $a, b, c$:

$c-a \neq 0 \implies c \neq a$

$c-b \neq 0 \implies c \neq b$

$b-a \neq 0 \implies b \neq a$

$b-c \neq 0 \implies b \neq c$

$a-b \neq 0 \implies a \neq b$

$a-c \neq 0 \implies a \neq c$

Таким образом, все три параметра должны быть попарно различны: $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$.

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию от $x$ и обозначим ее $P(x)$:

$P(x) = c \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}$

Функция $P(x)$ является многочленом от $x$. Поскольку каждое слагаемое содержит произведение двух линейных множителей вида $(x-k_1)(x-k_2)$, степень этого многочлена не превышает 2.

Данное выражение является интерполяционным многочленом Лагранжа. Найдем значения этого многочлена в точках $x=a$, $x=b$ и $x=c$.

При $x=a$:

$P(a) = c \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(a-a)(a-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} = 0 + 0 + a \cdot 1 = a$

При $x=b$:

$P(b) = c \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(b-a)(b-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} = 0 + b \cdot 1 + 0 = b$

При $x=c$:

$P(c) = c \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(c-a)(c-c)}{(b-a)(b-c)} + a \frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)} = c \cdot 1 + 0 + 0 = c$

Исходное уравнение имеет вид $P(x) = x$. Рассмотрим вспомогательную функцию $D(x) = P(x) - x$.

$D(x)$ также является многочленом, степень которого не превышает 2.

Найдем значения $D(x)$ в точках $a, b, c$:

$D(a) = P(a) - a = a - a = 0$

$D(b) = P(b) - b = b - b = 0$

$D(c) = P(c) - c = c - c = 0$

Мы получили, что $x=a$, $x=b$ и $x=c$ являются корнями многочлена $D(x)$. Поскольку параметры $a, b, c$ попарно различны, многочлен $D(x)$ имеет три различных корня.

Согласно основной теореме алгебры, ненулевой многочлен степени $n$ может иметь не более $n$ корней. Так как $D(x)$ — многочлен степени не выше 2, но имеет три различных корня, он должен быть тождественно равен нулю, то есть $D(x) \equiv 0$ для всех значений $x$.

Из $D(x) = 0$ следует, что $P(x) - x = 0$, или $P(x) = x$ для любого $x$.

Таким образом, исходное уравнение является тождеством, и оно справедливо для любого значения $x$ при условии, что параметры $a, b, c$ попарно различны.

Ответ: При условии, что $a \neq b, b \neq c, a \neq c$, решением уравнения является любое число. Если какие-либо два из параметров $a, b, c$ равны, уравнение не определено.