Страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

641. В коробке лежат 7 синих и 5 жёлтых шаров. Какова вероятность того, что выбранный наугад шар окажется:

1) жёлтым;

2) синим?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$.

В нашем случае, элементарный исход — это выбор одного шара из коробки.

Сначала найдём общее число шаров в коробке. В коробке лежат 7 синих и 5 жёлтых шаров.

Общее число шаров $n$ равно сумме синих и жёлтых шаров:

$n = 7 + 5 = 12$

Таким образом, общее число всех равновозможных исходов равно 12.

1) жёлтым

Событие A — «выбранный шар окажется жёлтым».

Число благоприятных исходов $m$ для этого события равно количеству жёлтых шаров в коробке.

$m = 5$

Теперь можем вычислить вероятность этого события:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

2) синим

Событие B — «выбранный шар окажется синим».

Число благоприятных исходов $m$ для этого события равно количеству синих шаров в коробке.

$m = 7$

Теперь можем вычислить вероятность этого события:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$

642. В коробке лежат 23 карточки, пронумерованные от 1 до 23. Из коробки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней написано число:

1) 12;

2) 24;

3) чётное;

4) нечётное;

5) кратное 3;

6) кратное 7;

7) двузначное;

8) простое;

9) в записи которого есть цифра 9;

10) в записи которого есть цифра 1;

11) в записи которого отсутствует цифра 5;

12) сумма цифр которого делится нацело на 5;

13) которое при делении на 7 даёт в остатке 5;

14) в записи которого отсутствует цифра 1?

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов. В данной задаче из коробки с 23 карточками (номера от 1 до 23) наугад вынимают одну. Следовательно, общее число равновозможных исходов для всех пунктов задачи равно $n=23$.

1) 12;

Среди чисел от 1 до 23 есть только одно число 12. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=1$. Вероятность того, что на карточке будет число 12, равна: $P = \frac{1}{23}$.

Ответ: $\frac{1}{23}$

2) 24;

Среди чисел от 1 до 23 нет числа 24. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=0$. Вероятность того, что на карточке будет число 24, равна: $P = \frac{0}{23} = 0$.

Ответ: $0$

3) чётное;

Среди чисел от 1 до 23 чётными являются: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22. Всего 11 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=11$. Вероятность вытянуть карточку с чётным числом равна: $P = \frac{11}{23}$.

Ответ: $\frac{11}{23}$

4) нечётное;

Среди чисел от 1 до 23 нечётными являются: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23. Всего 12 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=12$. Вероятность вытянуть карточку с нечётным числом равна: $P = \frac{12}{23}$.

Ответ: $\frac{12}{23}$

5) кратное 3;

Среди чисел от 1 до 23 кратными 3 являются: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Всего 7 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=7$. Вероятность вытянуть карточку с числом, кратным 3, равна: $P = \frac{7}{23}$.

Ответ: $\frac{7}{23}$

6) кратное 7;

Среди чисел от 1 до 23 кратными 7 являются: 7, 14, 21. Всего 3 таких числа. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=3$. Вероятность вытянуть карточку с числом, кратным 7, равна: $P = \frac{3}{23}$.

Ответ: $\frac{3}{23}$

7) двузначное;

Среди чисел от 1 до 23 двузначными являются числа от 10 до 23 включительно. Их количество: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23. Всего 14 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=14$. Вероятность вытянуть карточку с двузначным числом равна: $P = \frac{14}{23}$.

Ответ: $\frac{14}{23}$

8) простое;

Среди чисел от 1 до 23 простыми являются (число 1 не является ни простым, ни составным): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Всего 9 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=9$. Вероятность вытянуть карточку с простым числом равна: $P = \frac{9}{23}$.

Ответ: $\frac{9}{23}$

9) в записи которого есть цифра 9;

Среди чисел от 1 до 23 цифру 9 содержат числа: 9, 19. Всего 2 таких числа. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=2$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{2}{23}$.

Ответ: $\frac{2}{23}$

10) в записи которого есть цифра 1;

Среди чисел от 1 до 23 цифру 1 содержат числа: 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21. Всего 12 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=12$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{12}{23}$.

Ответ: $\frac{12}{23}$

11) в записи которого отсутствует цифра 5;

Сначала найдем числа от 1 до 23, в записи которых есть цифра 5. Это числа: 5, 15. Всего 2 таких числа. Следовательно, чисел, в записи которых цифра 5 отсутствует, будет $23 - 2 = 21$. Число благоприятствующих исходов $m=21$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{21}{23}$.

Ответ: $\frac{21}{23}$

12) сумма цифр которого делится нацело на 5;

Найдем числа от 1 до 23, сумма цифр которых делится на 5:

• 5 (сумма 5)
• 14 (сумма 1+4=5)
• 19 (сумма 1+9=10, 10 делится на 5)
• 23 (сумма 2+3=5)

Всего 4 таких числа. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=4$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{4}{23}$.

Ответ: $\frac{4}{23}$

13) которое при делении на 7 даёт в остатке 5;

Ищем числа вида $7k+5$ (где k — целое неотрицательное число), которые находятся в диапазоне от 1 до 23:

• При $k=0: 7 \cdot 0 + 5 = 5$
• При $k=1: 7 \cdot 1 + 5 = 12$
• При $k=2: 7 \cdot 2 + 5 = 19$
• При $k=3: 7 \cdot 3 + 5 = 26$ (не подходит, так как $>23$)

Всего 3 таких числа. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=3$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{3}{23}$.

Ответ: $\frac{3}{23}$

14) в записи которого отсутствует цифра 1?

В пункте 10 мы нашли, что чисел с цифрой 1 в диапазоне от 1 до 23 всего 12. Следовательно, чисел, в записи которых цифра 1 отсутствует, будет $23 - 12 = 11$. Число благоприятствующих исходов $m=11$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{11}{23}$.

Ответ: $\frac{11}{23}$

643. Из натуральных чисел от 1 до 30 наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что это число будет:

1) простым;

2) делителем числа 18;

3) квадратом натурального числа?

Для решения задачи используется классическая формула вероятности: $P = m/n$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию. Так как из натуральных чисел от 1 до 30 наугад выбирают одно число, то общее число равновозможных исходов $n = 30$.

1) простым;

Событие заключается в том, что выбранное число является простым. Простыми числами в диапазоне от 1 до 30 являются те, что делятся только на 1 и на самих себя (при этом 1 не является простым числом). Выпишем их: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Количество таких чисел (благоприятствующих исходов) $m = 10$. Вероятность того, что выбранное число будет простым, равна: $P = m/n = 10/30 = 1/3$.
Ответ: $1/3$.

2) делителем числа 18;

Событие заключается в том, что выбранное число является делителем числа 18. Найдем все натуральные делители числа 18. Это числа: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Все они находятся в диапазоне от 1 до 30. Количество таких чисел (благоприятствующих исходов) $m = 6$. Вероятность того, что выбранное число будет делителем числа 18, равна: $P = m/n = 6/30 = 1/5$.
Ответ: $1/5$.

3) квадратом натурального числа?

Событие заключается в том, что выбранное число является квадратом натурального числа. Найдем все такие числа в диапазоне от 1 до 30. $1^2 = 1$; $2^2 = 4$; $3^2 = 9$; $4^2 = 16$; $5^2 = 25$. Следующий квадрат, $6^2 = 36$, уже не входит в наш диапазон. Таким образом, у нас есть 5 таких чисел. Количество благоприятствующих исходов $m = 5$. Вероятность того, что выбранное число будет квадратом натурального числа, равна: $P = m/n = 5/30 = 1/6$.
Ответ: $1/6$.

644. Набирая номер телефона своего товарища, Николай забыл:

1) последнюю цифру;

2) первую цифру. Какова вероятность того, что он с первой попытки наберёт правильный номер?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов. Формула имеет вид: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

1) последнюю цифру;

Николай забыл последнюю цифру. Всего существует 10 цифр, которые могут находиться на этом месте: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, общее число возможных вариантов для последней цифры равно $n=10$.

Только один из этих вариантов является правильным. Следовательно, число благоприятных исходов равно $m=1$.

Вероятность того, что Николай с первой попытки наберёт правильный номер, составляет:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

2) первую цифру;

В этом случае Николай забыл первую цифру. Если не оговорено иное, мы предполагаем, что на первом месте может стоять любая из 10 цифр (от 0 до 9). Тогда общее число равновозможных исходов для первой цифры также равно $n=10$.

Правильный вариант только один, значит, число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность угадать правильную первую цифру с первой попытки будет такой же:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{10}$

Примечание: В некоторых реальных системах нумерации (например, для мобильных или городских номеров) существуют ограничения, и номер не может начинаться с цифры 0. Если бы такое условие было задано, то общее число вариантов для первой цифры было бы $n=9$ (цифры от 1 до 9), и искомая вероятность была бы равна $\frac{1}{9}$. Однако, поскольку в тексте задачи такое ограничение отсутствует, стандартным решением является рассмотрение всех 10 цифр как равновозможных.

Ответ: $\frac{1}{10}$

645. Какова вероятность того, что твой самый счастливый день в следующем году попадёт на:

1) 7-е число;

2) 31-е число;

3) 29-е число?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — это общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае, общее число исходов $n$ — это общее количество дней в году. Мы исходим из предположения, что "самый счастливый день" может с равной вероятностью выпасть на любой день года.

Поскольку в вопросе указано "в следующем году", а год может быть как невисокосным (365 дней), так и високосным (366 дней), мы рассмотрим оба этих случая для каждого пункта.

1) 7-е число;

Сначала определим число благоприятствующих исходов, $m$. Это количество дней в году, которые являются 7-м числом месяца. В году 12 месяцев, и в каждом из них есть 7-е число. Следовательно, количество таких дней всегда равно 12. Таким образом, $m = 12$.

Теперь рассчитаем вероятность для двух сценариев:

А) Если следующий год — невисокосный (обычный).

В невисокосном году 365 дней. Значит, общее число исходов $n = 365$.
Вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{12}{365}$.

Б) Если следующий год — високосный.

В високосном году 366 дней. Значит, общее число исходов $n = 366$.
Вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{12}{366}$. Эту дробь можно сократить на 6: $P = \frac{2}{61}$.

Ответ: Вероятность составляет $\frac{12}{365}$ для невисокосного года и $\frac{2}{61}$ для високосного года.

2) 31-е число;

Найдем число благоприятствующих исходов, $m$. Нам нужно посчитать, в скольких месяцах в году есть 31-й день. Это следующие месяцы: январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь. Всего таких месяцев 7. Таким образом, $m = 7$. Это число не зависит от того, високосный год или нет.

Рассчитаем вероятность для двух сценариев:

А) Если следующий год — невисокосный.

Общее число дней $n = 365$.
Вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{7}{365}$.

Б) Если следующий год — високосный.

Общее число дней $n = 366$.
Вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{7}{366}$.

Ответ: Вероятность составляет $\frac{7}{365}$ для невисокосного года и $\frac{7}{366}$ для високосного года.

3) 29-е число?

В этом случае число благоприятствующих исходов $m$ зависит от типа года, так как наличие 29 февраля отличает високосный год от невисокосного.

А) Если следующий год — невисокосный.

В невисокосном году в феврале 28 дней, поэтому 29-го февраля нет. 29-е число есть во всех остальных 11 месяцах. Таким образом, $m = 11$.
Общее число дней в году $n = 365$.
Вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{11}{365}$.

Б) Если следующий год — високосный.

В високосном году в феврале 29 дней. Следовательно, 29-е число есть во всех 12 месяцах года. Таким образом, $m = 12$.
Общее число дней в году $n = 366$.
Вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{12}{366} = \frac{2}{61}$.

Ответ: Вероятность составляет $\frac{11}{365}$ для невисокосного года и $\frac{2}{61}$ для високосного года.

646. Грани кубика раскрашены в красный или белый цвет (каждая грань в один цвет). Вероятность выпадения красной грани равна $\frac{5}{6}$. Сколько красных и сколько белых граней у кубика?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

В данном случае, мы рассматриваем бросок кубика. У кубика 6 граней, поэтому общее число возможных исходов при одном броске равно $n = 6$.

Событие, вероятность которого нам известна, — «выпала красная грань». Пусть количество красных граней на кубике равно $k$. Тогда число исходов, благоприятствующих этому событию, равно $m = k$.

Вероятность выпадения красной грани можно выразить формулой:

$P(\text{красная}) = \frac{k}{6}$

Согласно условию задачи, вероятность выпадения красной грани равна $\frac{5}{6}$. Мы можем составить уравнение, приравняв теоретическую вероятность и данное в условии значение:

$\frac{k}{6} = \frac{5}{6}$

Из этого уравнения следует, что числители дробей равны, то есть $k = 5$. Таким образом, у кубика 5 красных граней.

Теперь найдем количество белых граней. Всего у кубика 6 граней. Так как они окрашены либо в красный, либо в белый цвет, количество белых граней можно найти, вычтя количество красных граней из общего числа граней:

Количество белых граней = (Всего граней) - (Количество красных граней) = $6 - 5 = 1$.

Следовательно, у кубика 1 белая грань.

Ответ: 5 красных граней и 1 белая грань.

647. Грани кубика раскрашены в два цвета — синий и жёлтый (каждая грань в один цвет). Вероятность того, что выпадет синяя грань, равна $\frac{2}{3}$. Сколько синих и сколько жёлтых граней у кубика?

Стандартный кубик имеет 6 граней. Это общее число возможных исходов при его броске. Обозначим общее число исходов как $n$, тогда $n=6$.

Вероятность любого события $P(A)$ определяется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех возможных исходов $n$: $P(A) = \frac{m}{n}$

В данной задаче событие A — это выпадение синей грани. По условию, вероятность этого события равна $\frac{2}{3}$. Число благоприятных исходов $m$ — это количество синих граней, которое нам нужно найти.

Подставим все известные значения в формулу вероятности: $\frac{2}{3} = \frac{m}{6}$

Чтобы найти количество синих граней $m$, решим это уравнение: $m = \frac{2}{3} \times 6$
$m = \frac{12}{3}$
$m = 4$
Таким образом, у кубика 4 синие грани.

Поскольку всего у кубика 6 граней, а 4 из них синие, то количество жёлтых граней можно найти, вычтя из общего числа граней число синих: $6 - 4 = 2$
Следовательно, у кубика 2 жёлтые грани.

Проверим наше решение: если синих граней 4, а всего граней 6, то вероятность выпадения синей грани равна $\frac{4}{6}$. Сократив эту дробь на 2, получим $\frac{2}{3}$, что полностью соответствует условию задачи.
Ответ: у кубика 4 синие грани и 2 жёлтые грани.

648. В коробке лежат 2 синих шара и несколько красных. Сколько красных шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар:

1) окажется синим, равна $\frac{2}{5}$;

2) окажется красным, равна $\frac{4}{5}$?

Пусть в коробке находится x красных шаров. По условию, в коробке также лежат 2 синих шара. Тогда общее число шаров в коробке составляет $2 + x$.

Вероятность какого-либо события вычисляется по классической формуле: $P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}}$

1) окажется синим, равна $\frac{2}{5}$

В данном случае, благоприятным исходом является выбор синего шара. Количество синих шаров равно 2. Общее число исходов (всех шаров) равно $2 + x$.

Согласно условию, вероятность вытащить синий шар равна $\frac{2}{5}$. Составим уравнение: $\frac{2}{2 + x} = \frac{2}{5}$

Поскольку числители дробей в левой и правой частях уравнения равны, то их знаменатели также должны быть равны: $2 + x = 5$ $x = 5 - 2$ $x = 3$

Таким образом, в коробке находится 3 красных шара.

Ответ: 3.

2) окажется красным, равна $\frac{4}{5}$

В этом случае, благоприятным исходом является выбор красного шара. Количество красных шаров равно x. Общее число исходов (всех шаров) по-прежнему равно $2 + x$.

Согласно условию, вероятность вытащить красный шар равна $\frac{4}{5}$. Составим уравнение: $\frac{x}{2 + x} = \frac{4}{5}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $5 \cdot x = 4 \cdot (2 + x)$ $5x = 8 + 4x$ $5x - 4x = 8$ $x = 8$

Таким образом, в коробке находится 8 красных шаров.

Ответ: 8.

649. Карточки с номерами 1, 2, 3 произвольным образом разложили в ряд. Какова вероятность того, что карточки с нечётными номерами окажутся рядом?

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала определим общее число возможных способов разложить три карточки с номерами 1, 2 и 3 в ряд. Это количество перестановок из трех элементов, которое вычисляется как факториал числа 3:

$n = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Всего существует 6 возможных вариантов расположения карточек: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Далее определим число благоприятных исходов. Благоприятным является исход, при котором карточки с нечётными номерами (1 и 3) оказываются рядом. Чтобы посчитать такие варианты, мы можем мысленно "склеить" карточки 1 и 3 в один блок. Теперь у нас есть два объекта для расстановки: этот блок и карточка с номером 2.

Эти два объекта (блок {1,3} и карточка {2}) можно расположить в ряду $2! = 2$ способами:

• ([блок 1,3], 2)
• (2, [блок 1,3])

Внутри самого блока карточки 1 и 3 также можно поменять местами: (1, 3) и (3, 1). Это еще $2! = 2$ способа.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению числа способов расположить блоки и числа способов расположить карточки внутри блока:

$m = 2! \cdot 2! = 2 \cdot 2 = 4$

Перечислим эти благоприятные исходы:

• (1, 3, 2)
• (3, 1, 2)
• (2, 1, 3)
• (2, 3, 1)

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$