Страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

620. Решите неравенство $(|x| + 1)(x^2 + 5x - 6) > 0$.

Рассмотрим данное неравенство $(\vert x \vert + 1)(x^2 + 5x - 6) > 0$.

Это произведение двух множителей. Проанализируем каждый из них.

Первый множитель: $(\vert x \vert + 1)$.

По определению модуля, $\vert x \vert \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Следовательно, выражение $\vert x \vert + 1$ всегда будет больше или равно 1, то есть $\vert x \vert + 1 \ge 1$. Это означает, что первый множитель $(\vert x \vert + 1)$ всегда строго положителен.

Так как произведение двух множителей должно быть положительным, и один из множителей $(\vert x \vert + 1)$ всегда положителен, то второй множитель также должен быть строго положителен. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему квадратичному неравенству:

$x^2 + 5x - 6 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь мы можем представить квадратный трехчлен в виде произведения $(x - x_1)(x - x_2)$:

$(x - (-6))(x - 1) > 0$

$(x + 6)(x - 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой корни $-6$ и $1$. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 6)(x - 1)$ на каждом интервале.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2+6)(2-1) = 8 \cdot 1 = 8 > 0$. Знак "+".
• При $-6 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+6)(0-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0$. Знак "-".
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $(-7+6)(-7-1) = (-1) \cdot (-8) = 8 > 0$. Знак "+".

Так как нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, мы выбираем интервалы со знаком "+".

Следовательно, решением неравенства являются $x < -6$ или $x > 1$.

В виде интервалов это записывается как объединение: $(-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.

621. Упростите выражение:

1) $10\sqrt{\frac{2}{5}} - 0.5\sqrt{160} + 3\sqrt{\frac{10}{9}}$

2) $9\sqrt{2\frac{1}{3}} - 8\sqrt{1\frac{5}{16}} + \sqrt{189}$

1) $10\sqrt{\frac{2}{5}} - 0.5\sqrt{160} + 3\sqrt{1\frac{1}{9}}$

Для упрощения данного выражения необходимо преобразовать каждый член по отдельности, приводя их к виду $a\sqrt{b}$, где подкоренное выражение $b$ одинаково для всех членов.

1. Преобразуем первый член $10\sqrt{\frac{2}{5}}$:
Воспользуемся свойством корня $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$10\sqrt{\frac{2}{5}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 2\sqrt{10}$.

2. Преобразуем второй член $-0.5\sqrt{160}$:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0.5 = \frac{1}{2}$.
Вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разложим 160 на множители, один из которых является полным квадратом: $160 = 16 \cdot 10 = 4^2 \cdot 10$.
$-0.5\sqrt{160} = -\frac{1}{2}\sqrt{16 \cdot 10} = -\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{16} \cdot \sqrt{10}) = -\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{10} = -2\sqrt{10}$.

3. Преобразуем третий член $3\sqrt{1\frac{1}{9}}$:
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.
$3\sqrt{1\frac{1}{9}} = 3\sqrt{\frac{10}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} = \sqrt{10}$.

4. Сложим полученные результаты:
$2\sqrt{10} - 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = (2 - 2 + 1)\sqrt{10} = 1\sqrt{10} = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$

2) $9\sqrt{2\frac{1}{3}} - 8\sqrt{1\frac{5}{16}} + \sqrt{189}$

Аналогично первому заданию, упростим каждый член выражения.

1. Преобразуем первый член $9\sqrt{2\frac{1}{3}}$:
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
$9\sqrt{\frac{7}{3}} = 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = 9 \cdot \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 9 \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 3\sqrt{21}$.

2. Преобразуем второй член $-8\sqrt{1\frac{5}{16}}$:
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 5}{16} = \frac{21}{16}$.
$-8\sqrt{1\frac{5}{16}} = -8\sqrt{\frac{21}{16}} = -8 \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{16}} = -8 \cdot \frac{\sqrt{21}}{4} = -2\sqrt{21}$.

3. Преобразуем третий член $\sqrt{189}$:
Вынесем множитель из-под знака корня. Разложим 189 на множители: $189 = 9 \cdot 21 = 3^2 \cdot 21$.
$\sqrt{189} = \sqrt{9 \cdot 21} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{21} = 3\sqrt{21}$.

4. Сложим полученные результаты:
$3\sqrt{21} - 2\sqrt{21} + 3\sqrt{21} = (3 - 2 + 3)\sqrt{21} = 4\sqrt{21}$.

Ответ: $4\sqrt{21}$

622. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 2 - 6x < 14, \\ (x - 2)^2 > (x + 4)(x - 4) + 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2 - (3 - x) \le 5 - 3(x - 5), \\ 7 - 2(x - 3) > 1 - (2x + 5). \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2 - 6x < 14, \\ (x - 2)^2 > (x + 4)(x - 4) + 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ 2 - 6x < 14 $
$ -6x < 14 - 2 $
$ -6x < 12 $
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$ x > \frac{12}{-6} $
$ x > -2 $

Решим второе неравенство:
$ (x - 2)^2 > (x + 4)(x - 4) + 1 $
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):
$ x^2 - 4x + 4 > (x^2 - 16) + 1 $
$ x^2 - 4x + 4 > x^2 - 15 $
$ -4x > -15 - 4 $
$ -4x > -19 $
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$ x < \frac{-19}{-4} $
$ x < \frac{19}{4} $

Мы получили два условия: $ x > -2 $ и $ x < \frac{19}{4} $. Найдем пересечение этих множеств.
Решением системы является интервал $ (-2; \frac{19}{4}) $.
Ответ: $ x \in (-2; \frac{19}{4}) $.

2) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2 - (3 - x) \le 5 - 3(x - 5), \\ 7 - 2(x - 3) > 1 - (2x + 5) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ 2 - (3 - x) \le 5 - 3(x - 5) $
Раскроем скобки:
$ 2 - 3 + x \le 5 - 3x + 15 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x - 1 \le 20 - 3x $
$ x + 3x \le 20 + 1 $
$ 4x \le 21 $
$ x \le \frac{21}{4} $

Решим второе неравенство:
$ 7 - 2(x - 3) > 1 - (2x + 5) $
Раскроем скобки:
$ 7 - 2x + 6 > 1 - 2x - 5 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 13 - 2x > -4 - 2x $
$ -2x + 2x > -4 - 13 $
$ 0 > -17 $
Это верное числовое неравенство, значит, оно выполняется для любого действительного значения $ x $, то есть $ x \in (-\infty; +\infty) $.

Решением системы будет пересечение решений первого и второго неравенств: $ x \le \frac{21}{4} $ и $ x \in (-\infty; +\infty) $.
Пересечением этих множеств является $ x \le \frac{21}{4} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; \frac{21}{4}] $.

623. Решите графически уравнение:

1) $x^2 + 2 = -\frac{3}{x}$

2) $x^2 - 2x - 6 = \sqrt{x}$

1) $x^2 + 2 = -\frac{3}{x}$

Для решения уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 + 2$ и $y = -\frac{3}{x}$. Координата $x$ точки (или точек) пересечения этих графиков будет являться решением уравнения.

1. Построим график функции $y = x^2 + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика функции $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$. Несколько точек для построения:

При $x = -2, y = (-2)^2 + 2 = 6$
При $x = -1, y = (-1)^2 + 2 = 3$
При $x = 0, y = 0^2 + 2 = 2$
При $x = 1, y = 1^2 + 2 = 3$
При $x = 2, y = 2^2 + 2 = 6$

2. Построим график функции $y = -\frac{3}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат Ox и Oy. Несколько точек для построения:

При $x = -3, y = -3/(-3) = 1$
При $x = -1.5, y = -3/(-1.5) = 2$
При $x = -1, y = -3/(-1) = 3$
При $x = 1, y = -3/1 = -3$
При $x = 3, y = -3/3 = -1$

3. Построим оба графика в одной системе координат. Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. По вычисленным точкам видно, что при $x = -1$ обе функции принимают одинаковое значение $y=3$. Таким образом, точка пересечения — $(-1; 3)$.

Для $x > 0$ график параболы $y = x^2 + 2$ лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 2$), а график гиперболы $y = -\frac{3}{x}$ — в нижней ($y < 0$), поэтому пересечений нет. Для $x < 0$ функция $y = x^2 + 2$ является убывающей, а функция $y = -\frac{3}{x}$ — возрастающей. Следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза. Мы нашли эту точку пересечения.

Абсцисса точки пересечения и является решением уравнения.

Ответ: $x = -1$.

2) $x^2 - 2x - 6 = \sqrt{x}$

Для решения этого уравнения графически построим в одной системе координат графики функций $y = x^2 - 2x - 6$ и $y = \sqrt{x}$. Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями исходного уравнения.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

1. Построим график функции $y = x^2 - 2x - 6$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 6 = -7$. Вершина находится в точке $(1; -7)$. Несколько точек для построения (учитывая ОДЗ $x \ge 0$):

При $x = 0, y = 0^2 - 2(0) - 6 = -6$
При $x = 1, y = 1^2 - 2(1) - 6 = -7$
При $x = 3, y = 3^2 - 2(3) - 6 = -3$
При $x = 4, y = 4^2 - 2(4) - 6 = 2$

2. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это график функции квадратного корня. Он является ветвью параболы $x=y^2$, расположенной в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). График начинается в точке $(0; 0)$ и монотонно возрастает. Несколько точек для построения:

При $x = 0, y = \sqrt{0} = 0$
При $x = 1, y = \sqrt{1} = 1$
При $x = 4, y = \sqrt{4} = 2$
При $x = 9, y = \sqrt{9} = 3$

3. Построим оба графика в одной системе координат. Из графиков и таблиц значений видно, что они пересекаются в одной точке с координатами $(4; 2)$.

Проверим подстановкой $x=4$ в исходное уравнение:
Левая часть: $4^2 - 2 \cdot 4 - 6 = 16 - 8 - 6 = 2$.
Правая часть: $\sqrt{4} = 2$.
$2 = 2$. Равенство верное, значит $x = 4$ — корень уравнения.

При $x > 4$ парабола $y = x^2 - 2x - 6$ растет быстрее, чем функция $y = \sqrt{x}$, поэтому других точек пересечения не будет. При $0 \le x < 4$ график параболы лежит ниже графика функции $y = \sqrt{x}$ (кроме $x=0$, где $y=-6$ и $y=0$ соответственно). Следовательно, решение единственное.

Абсцисса точки пересечения является решением уравнения.

Ответ: $x = 4$.

624. Известно, что $a + 3b = 10$. Какое наименьшее значение может принимать выражение $a^2 + b^2$ и при каких значениях $a$ и $b$?

Для решения этой задачи выразим одну переменную через другую из данного уравнения и подставим в выражение, которое нужно минимизировать.

Из условия известно, что $a + 3b = 10$. Выразим отсюда переменную $a$:
$a = 10 - 3b$

Теперь подставим это выражение для $a$ в выражение $a^2 + b^2$, которое мы обозначим как $S$:
$S = (10 - 3b)^2 + b^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить функцию от переменной $b$:
$S(b) = 100 - 2 \cdot 10 \cdot 3b + (3b)^2 + b^2$
$S(b) = 100 - 60b + 9b^2 + b^2$
$S(b) = 10b^2 - 60b + 100$

Полученная функция $S(b)$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $b^2$ положителен ($10 > 0$). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Координату вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ по оси абсцисс можно найти по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A=10$, $B=-60$, а переменная — $b$.
$b_0 = -\frac{-60}{2 \cdot 10} = \frac{60}{20} = 3$

Таким образом, выражение $S$ принимает наименьшее значение при $b=3$. Найдем соответствующее значение $a$:
$a = 10 - 3b = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1$

Теперь вычислим наименьшее значение выражения $a^2 + b^2$:
$S_{min} = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$

Ответ: наименьшее значение выражения равно 10, оно достигается при $a=1$ и $b=3$.