Номер 621, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

621. Упростите выражение:

1) $10\sqrt{\frac{2}{5}} - 0.5\sqrt{160} + 3\sqrt{\frac{10}{9}}$

2) $9\sqrt{2\frac{1}{3}} - 8\sqrt{1\frac{5}{16}} + \sqrt{189}$

1) $10\sqrt{\frac{2}{5}} - 0.5\sqrt{160} + 3\sqrt{1\frac{1}{9}}$

Для упрощения данного выражения необходимо преобразовать каждый член по отдельности, приводя их к виду $a\sqrt{b}$, где подкоренное выражение $b$ одинаково для всех членов.

1. Преобразуем первый член $10\sqrt{\frac{2}{5}}$:
Воспользуемся свойством корня $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$10\sqrt{\frac{2}{5}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 2\sqrt{10}$.

2. Преобразуем второй член $-0.5\sqrt{160}$:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0.5 = \frac{1}{2}$.
Вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разложим 160 на множители, один из которых является полным квадратом: $160 = 16 \cdot 10 = 4^2 \cdot 10$.
$-0.5\sqrt{160} = -\frac{1}{2}\sqrt{16 \cdot 10} = -\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{16} \cdot \sqrt{10}) = -\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{10} = -2\sqrt{10}$.

3. Преобразуем третий член $3\sqrt{1\frac{1}{9}}$:
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.
$3\sqrt{1\frac{1}{9}} = 3\sqrt{\frac{10}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} = \sqrt{10}$.

4. Сложим полученные результаты:
$2\sqrt{10} - 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = (2 - 2 + 1)\sqrt{10} = 1\sqrt{10} = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$

2) $9\sqrt{2\frac{1}{3}} - 8\sqrt{1\frac{5}{16}} + \sqrt{189}$

Аналогично первому заданию, упростим каждый член выражения.

1. Преобразуем первый член $9\sqrt{2\frac{1}{3}}$:
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
$9\sqrt{\frac{7}{3}} = 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = 9 \cdot \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 9 \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 3\sqrt{21}$.

2. Преобразуем второй член $-8\sqrt{1\frac{5}{16}}$:
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 5}{16} = \frac{21}{16}$.
$-8\sqrt{1\frac{5}{16}} = -8\sqrt{\frac{21}{16}} = -8 \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{16}} = -8 \cdot \frac{\sqrt{21}}{4} = -2\sqrt{21}$.

3. Преобразуем третий член $\sqrt{189}$:
Вынесем множитель из-под знака корня. Разложим 189 на множители: $189 = 9 \cdot 21 = 3^2 \cdot 21$.
$\sqrt{189} = \sqrt{9 \cdot 21} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{21} = 3\sqrt{21}$.

4. Сложим полученные результаты:
$3\sqrt{21} - 2\sqrt{21} + 3\sqrt{21} = (3 - 2 + 3)\sqrt{21} = 4\sqrt{21}$.

Ответ: $4\sqrt{21}$