Номер 622, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

622. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 2 - 6x < 14, \\ (x - 2)^2 > (x + 4)(x - 4) + 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2 - (3 - x) \le 5 - 3(x - 5), \\ 7 - 2(x - 3) > 1 - (2x + 5). \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2 - 6x < 14, \\ (x - 2)^2 > (x + 4)(x - 4) + 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ 2 - 6x < 14 $
$ -6x < 14 - 2 $
$ -6x < 12 $
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$ x > \frac{12}{-6} $
$ x > -2 $

Решим второе неравенство:
$ (x - 2)^2 > (x + 4)(x - 4) + 1 $
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):
$ x^2 - 4x + 4 > (x^2 - 16) + 1 $
$ x^2 - 4x + 4 > x^2 - 15 $
$ -4x > -15 - 4 $
$ -4x > -19 $
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$ x < \frac{-19}{-4} $
$ x < \frac{19}{4} $

Мы получили два условия: $ x > -2 $ и $ x < \frac{19}{4} $. Найдем пересечение этих множеств.
Решением системы является интервал $ (-2; \frac{19}{4}) $.
Ответ: $ x \in (-2; \frac{19}{4}) $.

2) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2 - (3 - x) \le 5 - 3(x - 5), \\ 7 - 2(x - 3) > 1 - (2x + 5) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$ 2 - (3 - x) \le 5 - 3(x - 5) $
Раскроем скобки:
$ 2 - 3 + x \le 5 - 3x + 15 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x - 1 \le 20 - 3x $
$ x + 3x \le 20 + 1 $
$ 4x \le 21 $
$ x \le \frac{21}{4} $

Решим второе неравенство:
$ 7 - 2(x - 3) > 1 - (2x + 5) $
Раскроем скобки:
$ 7 - 2x + 6 > 1 - 2x - 5 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 13 - 2x > -4 - 2x $
$ -2x + 2x > -4 - 13 $
$ 0 > -17 $
Это верное числовое неравенство, значит, оно выполняется для любого действительного значения $ x $, то есть $ x \in (-\infty; +\infty) $.

Решением системы будет пересечение решений первого и второго неравенств: $ x \le \frac{21}{4} $ и $ x \in (-\infty; +\infty) $.
Пересечением этих множеств является $ x \le \frac{21}{4} $.
Ответ: $ x \in (-\infty; \frac{21}{4}] $.