Номер 623, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

623. Решите графически уравнение:

1) $x^2 + 2 = -\frac{3}{x}$

2) $x^2 - 2x - 6 = \sqrt{x}$

1) $x^2 + 2 = -\frac{3}{x}$

Для решения уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 + 2$ и $y = -\frac{3}{x}$. Координата $x$ точки (или точек) пересечения этих графиков будет являться решением уравнения.

1. Построим график функции $y = x^2 + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика функции $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$. Несколько точек для построения:

При $x = -2, y = (-2)^2 + 2 = 6$
При $x = -1, y = (-1)^2 + 2 = 3$
При $x = 0, y = 0^2 + 2 = 2$
При $x = 1, y = 1^2 + 2 = 3$
При $x = 2, y = 2^2 + 2 = 6$

2. Построим график функции $y = -\frac{3}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат Ox и Oy. Несколько точек для построения:

При $x = -3, y = -3/(-3) = 1$
При $x = -1.5, y = -3/(-1.5) = 2$
При $x = -1, y = -3/(-1) = 3$
При $x = 1, y = -3/1 = -3$
При $x = 3, y = -3/3 = -1$

3. Построим оба графика в одной системе координат. Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. По вычисленным точкам видно, что при $x = -1$ обе функции принимают одинаковое значение $y=3$. Таким образом, точка пересечения — $(-1; 3)$.

Для $x > 0$ график параболы $y = x^2 + 2$ лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 2$), а график гиперболы $y = -\frac{3}{x}$ — в нижней ($y < 0$), поэтому пересечений нет. Для $x < 0$ функция $y = x^2 + 2$ является убывающей, а функция $y = -\frac{3}{x}$ — возрастающей. Следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза. Мы нашли эту точку пересечения.

Абсцисса точки пересечения и является решением уравнения.

Ответ: $x = -1$.

2) $x^2 - 2x - 6 = \sqrt{x}$

Для решения этого уравнения графически построим в одной системе координат графики функций $y = x^2 - 2x - 6$ и $y = \sqrt{x}$. Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями исходного уравнения.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

1. Построим график функции $y = x^2 - 2x - 6$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 6 = -7$. Вершина находится в точке $(1; -7)$. Несколько точек для построения (учитывая ОДЗ $x \ge 0$):

При $x = 0, y = 0^2 - 2(0) - 6 = -6$
При $x = 1, y = 1^2 - 2(1) - 6 = -7$
При $x = 3, y = 3^2 - 2(3) - 6 = -3$
При $x = 4, y = 4^2 - 2(4) - 6 = 2$

2. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это график функции квадратного корня. Он является ветвью параболы $x=y^2$, расположенной в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). График начинается в точке $(0; 0)$ и монотонно возрастает. Несколько точек для построения:

При $x = 0, y = \sqrt{0} = 0$
При $x = 1, y = \sqrt{1} = 1$
При $x = 4, y = \sqrt{4} = 2$
При $x = 9, y = \sqrt{9} = 3$

3. Построим оба графика в одной системе координат. Из графиков и таблиц значений видно, что они пересекаются в одной точке с координатами $(4; 2)$.

Проверим подстановкой $x=4$ в исходное уравнение:
Левая часть: $4^2 - 2 \cdot 4 - 6 = 16 - 8 - 6 = 2$.
Правая часть: $\sqrt{4} = 2$.
$2 = 2$. Равенство верное, значит $x = 4$ — корень уравнения.

При $x > 4$ парабола $y = x^2 - 2x - 6$ растет быстрее, чем функция $y = \sqrt{x}$, поэтому других точек пересечения не будет. При $0 \le x < 4$ график параболы лежит ниже графика функции $y = \sqrt{x}$ (кроме $x=0$, где $y=-6$ и $y=0$ соответственно). Следовательно, решение единственное.

Абсцисса точки пересечения является решением уравнения.

Ответ: $x = 4$.