Номер 624, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

624. Известно, что $a + 3b = 10$. Какое наименьшее значение может принимать выражение $a^2 + b^2$ и при каких значениях $a$ и $b$?

Для решения этой задачи выразим одну переменную через другую из данного уравнения и подставим в выражение, которое нужно минимизировать.

Из условия известно, что $a + 3b = 10$. Выразим отсюда переменную $a$:
$a = 10 - 3b$

Теперь подставим это выражение для $a$ в выражение $a^2 + b^2$, которое мы обозначим как $S$:
$S = (10 - 3b)^2 + b^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить функцию от переменной $b$:
$S(b) = 100 - 2 \cdot 10 \cdot 3b + (3b)^2 + b^2$
$S(b) = 100 - 60b + 9b^2 + b^2$
$S(b) = 10b^2 - 60b + 100$

Полученная функция $S(b)$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $b^2$ положителен ($10 > 0$). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Координату вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ по оси абсцисс можно найти по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A=10$, $B=-60$, а переменная — $b$.
$b_0 = -\frac{-60}{2 \cdot 10} = \frac{60}{20} = 3$

Таким образом, выражение $S$ принимает наименьшее значение при $b=3$. Найдем соответствующее значение $a$:
$a = 10 - 3b = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1$

Теперь вычислим наименьшее значение выражения $a^2 + b^2$:
$S_{min} = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$

Ответ: наименьшее значение выражения равно 10, оно достигается при $a=1$ и $b=3$.