Номер 620, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

620. Решите неравенство $(|x| + 1)(x^2 + 5x - 6) > 0$.

Рассмотрим данное неравенство $(\vert x \vert + 1)(x^2 + 5x - 6) > 0$.

Это произведение двух множителей. Проанализируем каждый из них.

Первый множитель: $(\vert x \vert + 1)$.

По определению модуля, $\vert x \vert \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Следовательно, выражение $\vert x \vert + 1$ всегда будет больше или равно 1, то есть $\vert x \vert + 1 \ge 1$. Это означает, что первый множитель $(\vert x \vert + 1)$ всегда строго положителен.

Так как произведение двух множителей должно быть положительным, и один из множителей $(\vert x \vert + 1)$ всегда положителен, то второй множитель также должен быть строго положителен. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему квадратичному неравенству:

$x^2 + 5x - 6 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь мы можем представить квадратный трехчлен в виде произведения $(x - x_1)(x - x_2)$:

$(x - (-6))(x - 1) > 0$

$(x + 6)(x - 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой корни $-6$ и $1$. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 6)(x - 1)$ на каждом интервале.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2+6)(2-1) = 8 \cdot 1 = 8 > 0$. Знак "+".
• При $-6 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+6)(0-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0$. Знак "-".
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $(-7+6)(-7-1) = (-1) \cdot (-8) = 8 > 0$. Знак "+".

Так как нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, мы выбираем интервалы со знаком "+".

Следовательно, решением неравенства являются $x < -6$ или $x > 1$.

В виде интервалов это записывается как объединение: $(-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.