Страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

611. В таблице приведены данные о рождении детей в городе N за 2016 г.

Подсчитайте частоту рождений мальчиков в каждом месяце и за весь 2016 г. Оцените вероятность рождения девочки в 2016 г.

Подсчитайте частоту рождений мальчиков в каждом месяце и за весь 2016 г.

Частота события — это отношение числа исходов, в которых произошло это событие, к общему числу исходов. В данном случае частота рождения мальчиков в определенный месяц вычисляется по формуле:

Частота (мальчики) = $\frac{\text{Количество рожденных мальчиков}}{\text{Общее количество рожденных детей}}$

где общее количество рожденных детей — это сумма рожденных мальчиков и девочек.

Рассчитаем частоту для каждого месяца, округляя результат до тысячных:

• Январь:
  Общее число рождений: $1198 + 1193 = 2391$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1198}{2391} \approx 0.501$.
• Февраль:
  Общее число рождений: $1053 + 1065 = 2118$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1053}{2118} \approx 0.497$.
• Март:
  Общее число рождений: $1220 + 1137 = 2357$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1220}{2357} \approx 0.518$.
• Апрель:
  Общее число рождений: $1151 + 1063 = 2214$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1151}{2214} \approx 0.520$.
• Май:
  Общее число рождений: $1151 + 1163 = 2314$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1151}{2314} \approx 0.497$.
• Июнь:
  Общее число рождений: $1279 + 1228 = 2507$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1279}{2507} \approx 0.510$.
• Июль:
  Общее число рождений: $1338 + 1258 = 2596$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1338}{2596} \approx 0.515$.
• Август:
  Общее число рождений: $1347 + 1335 = 2682$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1347}{2682} \approx 0.502$.
• Сентябрь:
  Общее число рождений: $1329 + 1218 = 2547$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1329}{2547} \approx 0.522$.
• Октябрь:
  Общее число рождений: $1287 + 1239 = 2526$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1287}{2526} \approx 0.510$.
• Ноябрь:
  Общее число рождений: $1196 + 1066 = 2262$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1196}{2262} \approx 0.529$.
• Декабрь:
  Общее число рождений: $1243 + 1120 = 2363$.
  Частота рождения мальчиков: $\frac{1243}{2363} \approx 0.526$.

Теперь рассчитаем частоту рождений мальчиков за весь 2016 год.

Суммарное количество рожденных мальчиков за год:
$1198 + 1053 + 1220 + 1151 + 1151 + 1279 + 1338 + 1347 + 1329 + 1287 + 1196 + 1243 = 14792$.

Суммарное количество рожденных девочек за год:
$1193 + 1065 + 1137 + 1063 + 1163 + 1228 + 1258 + 1335 + 1218 + 1239 + 1066 + 1120 = 14085$.

Общее количество рожденных детей за год:
$14792 + 14085 = 28877$.

Частота рождения мальчиков за 2016 год:
$\frac{14792}{28877} \approx 0.512$.

Ответ: Частоты рождений мальчиков по месяцам: январь ≈ 0.501, февраль ≈ 0.497, март ≈ 0.518, апрель ≈ 0.520, май ≈ 0.497, июнь ≈ 0.510, июль ≈ 0.515, август ≈ 0.502, сентябрь ≈ 0.522, октябрь ≈ 0.510, ноябрь ≈ 0.529, декабрь ≈ 0.526. Частота рождений мальчиков за весь 2016 год ≈ 0.512.

Оцените вероятность рождения девочки в 2016 г.

Вероятность события можно оценить его относительной частотой при большом количестве испытаний. В данном случае оценкой вероятности рождения девочки будет служить частота ее рождения за весь 2016 год.

Вероятность (девочка) ≈ $\frac{\text{Общее количество рожденных девочек за год}}{\text{Общее количество рожденных детей за год}}$

Используя данные, подсчитанные в предыдущем пункте:

Общее количество рожденных девочек за год: 14085.

Общее количество рожденных детей за год: 28877.

Оценка вероятности рождения девочки:
$P(\text{девочка}) \approx \frac{14085}{28877} \approx 0.488$.

Эту же величину можно было найти, вычитая из единицы частоту рождения мальчика: $1 - 0.512 = 0.488$.

Ответ: Вероятность рождения девочки в 2016 году, оцененная по данным таблицы, составляет примерно 0.488.

612. Оператор справочной службы в течение рабочего дня (9:00-17:00) разговаривает по телефону в среднем 6 ч. Оцените вероятность того, что, если позвонить в справочную в это время, телефон окажется свободным.

Для решения этой задачи мы будем использовать геометрическое определение вероятности. Общим пространством событий является весь рабочий день, а благоприятным событием — время, когда телефон свободен.

1. Сначала найдем общую продолжительность рабочего дня. Оператор работает с 9:00 до 17:00.

Продолжительность рабочего дня $T_{общ}$ составляет:$T_{общ} = 17 - 9 = 8$ часов.

2. По условию, среднее время, в течение которого оператор занят разговором по телефону ($T_{занят}$), равно 6 часам.$T_{занят} = 6$ часов.

3. Теперь найдем время, в течение которого телефон свободен ($T_{свободен}$). Для этого вычтем из общей продолжительности рабочего дня время, когда телефон был занят.

$T_{свободен} = T_{общ} - T_{занят} = 8 - 6 = 2$ часа.

4. Вероятность ($P$) того, что телефон окажется свободным, равна отношению времени, когда телефон свободен, ко всей продолжительности рабочего дня.

$P = \frac{T_{свободен}}{T_{общ}}$

Подставим числовые значения и рассчитаем вероятность:

$P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$

Ответ: $0.25$

613. 1) Из большой партии лампочек выбрали 1000, среди которых оказалось 5 бракованных. Оцените вероятность купить бракованную лампочку.

2) Известно, что холодильники, выпускаемые фирмами А и В, имеют одинаковые технические характеристики и продаются по одинаковой цене. Из больших партий выбрали 500 холодильников фирмы А и 800 холодильников фирмы В. В первой партии оказалось 3 бракованных холодильника, а во второй партии – 5. Холодильник какой из фирм купили бы вы?

1) Для оценки вероятности покупки бракованной лампочки мы используем статистическое определение вероятности. Согласно этому определению, вероятность события можно оценить как его относительную частоту в большой серии испытаний. В данном случае, каждое испытание — это проверка одной лампочки.

Общее количество проверенных лампочек (общее число испытаний) составляет $n = 1000$.

Количество исходов, в которых событие "лампочка бракованная" наступило, равно $m = 5$.

Относительная частота события, которая является оценкой его вероятности $P$, вычисляется по формуле:

$P \approx \frac{m}{n}$

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$P \approx \frac{5}{1000} = 0.005$

Таким образом, на основе данной выборки, вероятность купить бракованную лампочку составляет 0.005, или 0.5%.

Ответ: Вероятность купить бракованную лампочку оценивается как 0.005.

2) Чтобы сделать рациональный выбор между холодильниками двух фирм, которые имеют одинаковые характеристики и цену, нужно сравнить их надежность. Показателем надежности в данном случае будет вероятность купить бракованный товар. Мы выберем ту фирму, у которой эта вероятность ниже.

Рассчитаем оценку вероятности брака для каждой фирмы на основе предоставленной статистики.

Для фирмы А:

• Объем выборки: $n_A = 500$ холодильников.
• Количество бракованных: $m_A = 3$.
• Оценка вероятности купить бракованный холодильник фирмы А:
• $P_A \approx \frac{m_A}{n_A} = \frac{3}{500} = \frac{6}{1000} = 0.006$

Для фирмы В:

• Объем выборки: $n_B = 800$ холодильников.
• Количество бракованных: $m_B = 5$.
• Оценка вероятности купить бракованный холодильник фирмы В:
• $P_B \approx \frac{m_B}{n_B} = \frac{5}{800} = \frac{1}{160} = 0.00625$

Теперь сравним полученные вероятности:

$P_A = 0.006$

$P_B = 0.00625$

Так как $0.006 < 0.00625$, то $P_A < P_B$. Это означает, что вероятность приобрести бракованный холодильник у фирмы А меньше, чем у фирмы В. Следовательно, продукция фирмы А является более надежной согласно этим данным.

Ответ: Следует купить холодильник фирмы А, так как на основе статистических данных вероятность купить бракованный холодильник этой фирмы (0.006) ниже, чем у фирмы В (0.00625).

614. Во время эпидемии гриппа среди обследованных 40 000 жителей выявили 7900 больных. Оцените вероятность события «наугад выбранный житель болен гриппом».

Для оценки вероятности события «наугад выбранный житель болен гриппом» используется его относительная частота. Относительная частота события является статистической оценкой его вероятности и вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу проведенных испытаний.

В данной задаче общее число испытаний $N$ равно количеству обследованных жителей, то есть $N = 40 000$. Число благоприятствующих исходов $M$ равно количеству выявленных больных, то есть $M = 7900$.

Вероятность $P$ события можно оценить по формуле относительной частоты:$P \approx \frac{M}{N}$.Подставим в формулу данные из условия:$P \approx \frac{7900}{40000}$.

Упростим полученную дробь, сократив числитель и знаменатель на 100:$\frac{7900}{40000} = \frac{79}{400}$.

Теперь преобразуем дробь в десятичный вид, выполнив деление:$\frac{79}{400} = 0.1975$.

Таким образом, оценка вероятности того, что случайно выбранный житель болен гриппом, составляет 0,1975.

Ответ: 0,1975