Страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

593. Сколько трёхзначных нечётных чисел можно записать с помощью цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$?

Задача состоит в том, чтобы найти количество трёхзначных нечётных чисел, которые можно составить из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Трёхзначное число имеет три разряда: сотни, десятки и единицы. Рассмотрим количество возможных вариантов для каждого разряда, учитывая заданные условия.

• Разряд сотен (первая цифра): Первой цифрой трёхзначного числа не может быть 0. Поэтому для этого разряда мы можем использовать любую из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Всего имеется 6 возможных вариантов.
• Разряд десятков (вторая цифра): Для второго разряда нет никаких ограничений. Поскольку в условии не указано, что цифры не должны повторяться, мы можем использовать любую из 7 данных цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Всего имеется 7 возможных вариантов.
• Разряд единиц (последняя цифра): Число является нечётным, если его последняя цифра нечётная. Из нашего набора {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} нечётными являются цифры {1, 3, 5}. Всего имеется 3 возможных варианта.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно применить комбинаторное правило умножения — перемножить количество вариантов для каждого разряда:

Количество чисел = (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц)

Подставим значения:

$N = 6 \times 7 \times 3$

Вычислим произведение:

$N = 126$

Таким образом, можно составить 126 трёхзначных нечётных чисел.

Ответ: 126.

594. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых должны быть различными, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Для решения этой задачи нужно найти количество пятизначных чисел, которые можно составить из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4}, при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование комбинаторного правила произведения

Мы можем рассматривать создание числа как последовательное заполнение пяти позиций (разрядов) цифрами, учитывая все ограничения.

Первая цифра (разряд десятков тысяч): На эту позицию нельзя поставить 0, иначе число не будет пятизначным. Следовательно, для первой цифры у нас есть 4 варианта выбора: 1, 2, 3 или 4.

Вторая цифра (разряд тысяч): Мы уже использовали одну цифру. Из исходного набора {0, 1, 2, 3, 4} у нас осталось 4 неиспользованные цифры (теперь 0 можно использовать). Следовательно, для второй позиции есть 4 варианта.

Третья цифра (разряд сотен): Две цифры уже заняты. Осталось 3 свободные цифры, поэтому есть 3 варианта.

Четвертая цифра (разряд десятков): Три цифры заняты. Осталось 2 свободные цифры, то есть 2 варианта.

Пятая цифра (разряд единиц): Четыре цифры заняты. Осталась всего 1 последняя цифра, то есть 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$N = 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Способ 2: Метод перестановок с исключением

Сначала найдем общее количество всех возможных перестановок из пяти данных цифр {0, 1, 2, 3, 4}. Это число равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5$.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Это число включает в себя все последовательности цифр, в том числе и те, которые начинаются с 0. Такие последовательности не являются пятизначными числами (например, 01234 — это на самом деле четырехзначное число 1234). Мы должны вычесть количество таких "неправильных" последовательностей.

Найдем количество перестановок, которые начинаются с 0. Если первая цифра зафиксирована как 0, то остальные четыре позиции нужно заполнить оставшимися четырьмя цифрами {1, 2, 3, 4}. Количество способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $P_4$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Теперь вычтем количество "неправильных" перестановок (тех, что начинаются с 0) из общего количества перестановок, чтобы найти количество искомых пятизначных чисел:
$N = P_5 - P_4 = 120 - 24 = 96$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 96

595. Сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?

Для решения задачи необходимо найти количество пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, которые удовлетворяют двум условиям: все цифры в числе различны, и само число является чётным.

Поскольку все цифры в числе должны быть различны, а у нас есть 5 цифр для составления пятизначного числа, каждое такое число будет являться перестановкой цифр из набора {1, 2, 3, 4, 5}.

Условие чётности накладывает ограничение на последнюю цифру числа. Число является чётным, если оно оканчивается на чётную цифру. В заданном наборе цифр {1, 2, 3, 4, 5} есть две такие цифры: 2 и 4.

Применим комбинаторное правило произведения для подсчёта количества вариантов. Начнём формирование числа с выбора цифры для последнего разряда (единиц), так как на него наложено самое строгое ограничение.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц).
На эту позицию можно поставить только чётную цифру. У нас есть 2 варианта: 2 или 4.

2. Размещение оставшихся цифр.
После того, как последняя цифра выбрана, у нас остаются 4 неиспользованные цифры. Эти 4 цифры необходимо разместить на оставшихся четырёх позициях (десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки). Количество способов, которыми можно расположить 4 различных элемента на 4 местах, равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $P_4 = 4!$.

Вычислим значение факториала:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Это означает, что для каждого выбора последней цифры существует 24 способа расставить остальные.

3. Нахождение общего количества чисел.
Чтобы найти общее количество искомых чисел, нужно умножить количество вариантов для выбора последней цифры на количество вариантов для размещения остальных цифр:

Искомое количество чисел = $2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$.

Ответ: 48

596. Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5?

Для того чтобы найти количество пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5, необходимо определить диапазон этих чисел и применить правило делимости на 5.

Пятизначными числами являются все целые числа от 10000 до 99999. Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — это 0 или 5.

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Комбинаторный метод

Рассмотрим пятизначное число как последовательность из пяти цифр. Определим, сколько вариантов возможно для каждой позиции:

• Первая цифра (разряд десятков тысяч): на этом месте может быть любая цифра от 1 до 9. Ноль не подходит, так как иначе число не будет пятизначным. Таким образом, есть 9 вариантов.
• Вторая, третья и четвертая цифры: на этих местах может стоять любая цифра от 0 до 9. Для каждой из этих позиций есть по 10 вариантов.
• Пятая цифра (разряд единиц): чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. Таким образом, для этой позиции есть 2 варианта.

Для нахождения общего количества таких чисел нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество чисел = $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 2 = 18000$.

Способ 2: Арифметическая прогрессия

Все пятизначные числа, которые делятся на 5, образуют арифметическую прогрессию.

• Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее пятизначное число, кратное 5, то есть 10000.
• Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее пятизначное число, кратное 5, то есть 99995.
• Разность прогрессии ($d$) равна 5.

Чтобы найти количество членов ($n$) в этой прогрессии, используем формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$99995 = 10000 + (n-1) \cdot 5$

Теперь решим уравнение относительно $n$:

$99995 - 10000 = (n-1) \cdot 5$

$89995 = (n-1) \cdot 5$

$n - 1 = \frac{89995}{5}$

$n - 1 = 17999$

$n = 17999 + 1 = 18000$

Оба способа показывают, что существует 18000 пятизначных чисел, делящихся на 5.

Ответ: 18000

597. Сколько существует семизначных чисел, которые делятся нацело на 25?

Для того чтобы найти количество семизначных чисел, которые делятся нацело на 25, воспользуемся комбинаторным подходом и признаком делимости на 25.

Признак делимости на 25: число делится на 25, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 25. Такими двузначными окончаниями являются 00, 25, 50 и 75. Всего существует 4 таких варианта.

Семизначное число имеет 7 разрядов. Рассмотрим, сколько вариантов существует для каждой цифры в числе.

1. Первая цифра (разряд миллионов): на этом месте может стоять любая цифра от 1 до 9, так как число не может начинаться с 0. Таким образом, есть 9 вариантов для первой цифры.

2. Цифры со второй по пятую (разряды сотен тысяч, десятков тысяч, тысяч и сотен): на каждом из этих четырёх мест может стоять любая цифра от 0 до 9. Это даёт по 10 вариантов для каждой из этих четырёх позиций.

3. Последние две цифры (разряды десятков и единиц): как было сказано ранее, эти две цифры должны образовывать число, кратное 25. Существует 4 таких варианта: 00, 25, 50, 75.

Теперь, чтобы найти общее количество таких семизначных чисел, нужно перемножить количество возможных вариантов для каждой позиции:

(варианты для первой цифры) × (варианты для второй цифры) × (варианты для третьей цифры) × (варианты для четвертой цифры) × (варианты для пятой цифры) × (варианты для последних двух цифр)

Количество чисел = $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 4$

Выполним вычисления:
$N = 9 \times 10^4 \times 4 = 36 \times 10000 = 360000$

Следовательно, существует 360 000 семизначных чисел, которые делятся нацело на 25.

Ответ: 360000.

598. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов расставить две ладьи на стандартной шахматной доске размером 8x8 так, чтобы они не угрожали друг другу. Ладьи угрожают друг другу, если находятся на одной горизонтали (строке) или одной вертикали (столбце). Это означает, что для выполнения условия задачи ладьи должны стоять в разных строках и разных столбцах. Так как в условии не указано иное (например, что ладьи разного цвета), будем считать их неразличимыми.

Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Способ 1: Последовательная расстановка

1. Выбор места для первой ладьи. Шахматная доска имеет 64 клетки. Первую ладью можно поставить на любую из них. Таким образом, есть 64 способа разместить первую ладью.

2. Выбор места для второй ладьи. После того как первая ладья поставлена, она занимает одну строку и один столбец. Вторая ладья не может быть поставлена в ту же строку или в тот же столбец. Строка, в которой стоит первая ладья, содержит 8 клеток. Столбец содержит также 8 клеток. Сама клетка, на которой стоит ладья, посчитана дважды. Значит, количество клеток, которые "атакует" первая ладья (включая ту, на которой она стоит), равно $8 + 8 - 1 = 15$. Следовательно, для второй ладьи остаются свободными и безопасными $64 - 15 = 49$ клеток.

3. Подсчет общего числа способов. Если бы ладьи были различимы (например, белая и черная), то общее число способов было бы произведением числа вариантов для каждой ладьи: $64 \times 49 = 3136$. Но поскольку ладьи считаются неразличимыми, порядок их расстановки не имеет значения, т.е. пара позиций (A, B) не отличается от пары (B, A). Поэтому полученное произведение необходимо разделить на 2 (число перестановок двух ладей, $2!$).

Количество способов: $N = \frac{64 \times 49}{2} = 32 \times 49 = 1568$.

Способ 2: Комбинаторный подход (метод исключения)

1. Общее число способов расставить две ладьи. Сначала найдем общее количество способов разместить две неразличимые ладьи на 64 клетках без каких-либо ограничений. Это число сочетаний из 64 по 2: $C_{64}^2 = \binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2 \times 1} = 32 \times 63 = 2016$.

2. Число "запрещенных" расстановок. Теперь посчитаем количество способов, при которых ладьи бьют друг друга. Это происходит, если они стоят в одной строке или в одном столбце.

- Ладьи в одной строке. Сначала нужно выбрать одну из 8 строк. Затем в этой строке нужно выбрать 2 клетки из 8 для двух ладей. Число способов выбрать 2 клетки в одной строке: $C_8^2 = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$. Поскольку строк 8, общее число способов поставить ладьи в одну строку равно $8 \times 28 = 224$.

- Ладьи в одном столбце. Аналогично, сначала выбираем один из 8 столбцов. Затем в этом столбце выбираем 2 клетки из 8. Общее число способов поставить ладьи в один столбец равно $8 \times C_8^2 = 8 \times 28 = 224$.

Общее число "запрещенных" расстановок равно сумме способов для строк и столбцов: $224 + 224 = 448$.

3. Итоговый расчет. Чтобы найти число способов, при которых ладьи не бьют друг друга, вычтем число "запрещенных" расстановок из общего числа всех возможных расстановок: $N = 2016 - 448 = 1568$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1568.

599. Сколько существует семизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?

Для решения задачи необходимо рассмотреть два взаимоисключающих случая: когда все цифры семизначного числа являются чётными и когда все цифры являются нечётными. Итоговое количество будет равно сумме чисел, найденных в каждом случае.

Случай 1: все цифры чётные

Множество чётных цифр, которые можно использовать, это {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 цифр.Семизначное число представляет собой последовательность из 7 цифр. Первая цифра числа не может быть нулём, поэтому для неё существует 4 варианта (2, 4, 6 или 8). Для каждой из оставшихся шести позиций (со второй по седьмую) можно использовать любую из 5 чётных цифр.Используя комбинаторное правило произведения, получаем количество чисел, состоящих только из чётных цифр:

$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^6 = 4 \times 15625 = 62500$.

Случай 2: все цифры нечётные

Множество нечётных цифр, которые можно использовать, это {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 цифр.Поскольку ноль не является нечётной цифрой, ограничений на первую цифру нет. На каждую из семи позиций в числе можно поставить любую из 5 нечётных цифр.Используя правило произведения, получаем количество чисел, состоящих только из нечётных цифр:

$5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^7 = 78125$.

Чтобы найти общее количество семизначных чисел, у которых все цифры имеют одинаковую чётность, необходимо сложить количества, полученные в обоих случаях:

Общее количество = (количество чисел с чётными цифрами) + (количество чисел с нечётными цифрами) = $62500 + 78125 = 140625$.

Ответ: 140625.

600. Сколькими способами можно распределить заказ на печать 10 различных учебников между двумя типографиями?

В данной задаче нам нужно определить, сколькими способами можно распределить 10 различных объектов (учебников) по 2 различным категориям (типографиям). Эта задача решается с помощью принципов комбинаторики, а именно, с использованием формулы для размещений с повторениями.

Представим, что у нас есть 10 учебников. Для каждого из них необходимо принять решение, в какой из двух типографий он будет напечатан.

• Для первого учебника есть 2 возможных выбора: типография №1 или типография №2.
• Для второго учебника также есть 2 независимых выбора.
• И так далее, для каждого из 10 учебников есть по 2 варианта.

Поскольку выбор типографии для каждого учебника не зависит от выбора для других учебников, мы можем использовать правило умножения. Общее количество способов будет равно произведению числа вариантов для каждого учебника.

Количество способов равно:

$N = \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{10 \text{ раз}} = 2^{10}$

Теперь вычислим полученное значение:

$2^{10} = 1024$

Таким образом, существует 1024 способа распределить заказ на печать 10 различных учебников между двумя типографиями. Этот расчет включает и те случаи, когда все учебники отдаются только одной типографии.

Ответ: 1024

601. Постройте в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y=2-x$. С помощью графиков укажите значения $x$, при которых значение функции $y=\sqrt{x}$ больше, чем значение функции $y=2-x$.

Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.

1. Для построения графика функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы) определим несколько ключевых точек. Область определения этой функции: $x \ge 0$.
- при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$; получаем точку (0, 0).
- при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$; получаем точку (1, 1).
- при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$; получаем точку (4, 2).
Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции $y = \sqrt{x}$.

2. Для построения графика функции $y = 2 - x$ (прямая линия) достаточно найти две точки, через которые она проходит.
- при $x=0$, $y=2-0=2$; получаем точку пересечения с осью OY (0, 2).
- при $y=0$, $0=2-x$, откуда $x=2$; получаем точку пересечения с осью OX (2, 0).
Проведя прямую через эти две точки, получим график функции $y = 2 - x$.

При построении обоих графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в одной точке.

С помощью графиков укажите значения x, при которых значение функции $y = \sqrt{x}$ больше, чем значение функции $y = 2 - x$.

Это требование означает, что нам нужно найти решения неравенства $\sqrt{x} > 2-x$. Графически это соответствует таким значениям $x$, при которых график функции $y=\sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y=2-x$.

Для этого сначала найдем точку пересечения графиков. Визуально из графика можно предположить, что абсцисса точки пересечения равна 1. Проверим это аналитически, решив уравнение $\sqrt{x} = 2-x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование требует, чтобы обе части были неотрицательны. Условие $x \ge 0$ следует из области определения корня. Условие $2-x \ge 0$, то есть $x \le 2$, также должно выполняться.
$(\sqrt{x})^2 = (2-x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета находим корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на соответствие условиям $x \ge 0$ и $x \le 2$:
- $x_1 = 1$ удовлетворяет обоим условиям ($0 \le 1 \le 2$). Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{1} = 2-1$, что дает верное равенство $1=1$.
- $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 2$. Этот корень является посторонним, он появился в результате возведения в квадрат.
Таким образом, графики пересекаются в единственной точке, абсцисса которой $x=1$.

Анализируя взаимное расположение графиков, видим, что:
- на интервале $[0, 1)$ график $y=\sqrt{x}$ находится ниже прямой $y=2-x$.
- в точке $x=1$ графики пересекаются.
- на интервале $(1, +\infty)$ график $y=\sqrt{x}$ находится выше прямой $y=2-x$.

Следовательно, значение функции $y=\sqrt{x}$ больше значения функции $y=2-x$ при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

602. Одному рабочему для выполнения производственного задания надо на 4 ч меньше, чем другому. Первый рабочий проработал 2 ч, а потом его сменил второй. После того как второй рабочий проработал 3 ч, оказалось, что выполнена $\frac{1}{2}$ часть задания. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий, работая самостоятельно?

Примем за $x$ количество часов, за которое может выполнить задание второй рабочий, работая самостоятельно. Согласно условию, первому рабочему для выполнения этого же задания требуется на 4 часа меньше, то есть $(x-4)$ часов. Поскольку время на выполнение работы должно быть положительным, $x-4 > 0$, следовательно, $x > 4$.

Производительность труда (объем работы, выполняемый за один час) для первого рабочего равна $\frac{1}{x-4}$, а для второго рабочего — $\frac{1}{x}$.

Первый рабочий проработал 2 часа, выполнив при этом часть задания, равную $2 \cdot \frac{1}{x-4} = \frac{2}{x-4}$.

После этого второй рабочий проработал 3 часа, выполнив часть задания, равную $3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Вместе они выполнили $\frac{1}{2}$ всего задания. Можем составить уравнение:

$\frac{2}{x-4} + \frac{3}{x} = \frac{1}{2}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{2x + 3(x-4)}{x(x-4)} = \frac{1}{2}$

$\frac{2x + 3x - 12}{x^2 - 4x} = \frac{1}{2}$

$\frac{5x - 12}{x^2 - 4x} = \frac{1}{2}$

Используем основное свойство пропорции:

$2(5x - 12) = 1(x^2 - 4x)$

$10x - 24 = x^2 - 4x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 10x + 24 = 0$

$x^2 - 14x + 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 24. Легко подобрать корни:

$x_1 = 12$

$x_2 = 2$

Теперь проверим корни на соответствие условию $x > 4$.

Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет условию, так как $12 > 4$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $2 \ngtr 4$. Этот корень является посторонним.

Таким образом, время, за которое второй рабочий может выполнить задание, составляет 12 часов.

Время первого рабочего составляет $x-4 = 12-4=8$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить задание за 8 часов, а второй — за 12 часов.

603. Докажите, что функция:

1) $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на промежутке $(-\infty; -2];$

2) $f(x) = \frac{9}{4 + x}$ убывает на промежутке $(-\infty; -4).$

1) f(x) = x² + 4x убывает на промежутке (−∞; −2];

Для доказательства того, что функция убывает на заданном промежутке, можно использовать производную. Функция является убывающей на некотором промежутке, если ее производная на этом промежутке меньше либо равна нулю ($f'(x) \le 0$).

Найдем производную функции $f(x) = x^2 + 4x$:

$f'(x) = (x^2 + 4x)' = (x^2)' + (4x)' = 2x + 4$.

Теперь определим знак производной на промежутке $(-\infty; -2]$. Возьмем любое значение $x$ из этого промежутка, то есть $x \le -2$.

Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):

$2x \le -4$

Прибавим к обеим частям 4:

$2x + 4 \le 0$

Таким образом, мы получили, что $f'(x) \le 0$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; -2]$. Поскольку производная функции неположительна на данном промежутке (и обращается в ноль только в одной точке $x = -2$), функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано. Производная $f'(x) = 2x+4$ является неположительной ($f'(x) \le 0$) на промежутке $(-\infty; -2]$, следовательно, функция $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на этом промежутке.

2) f(x) = $\frac{9}{4 + x}$ убывает на промежутке (−∞; −4).

Для доказательства также воспользуемся производной. Функция убывает на промежутке, где ее производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

Представим функцию в виде $f(x) = 9(4+x)^{-1}$ и найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (9(4+x)^{-1})' = 9 \cdot (-1) \cdot (4+x)^{-2} \cdot (4+x)' = -9(4+x)^{-2} \cdot 1 = -\frac{9}{(4+x)^2}$.

Теперь определим знак производной на промежутке $(-\infty; -4)$.

Знаменатель производной, выражение $(4+x)^2$, является квадратом числа. Для любого $x$ из промежутка $(-\infty; -4)$ выражение $4+x$ не равно нулю, поэтому $(4+x)^2$ всегда будет строго положительным.

Числитель производной равен $-9$, то есть является отрицательным числом.

Таким образом, производная $f'(x)$ представляет собой частное отрицательного числа и положительного числа, а значит, она всегда отрицательна на заданном промежутке:

$f'(x) = -\frac{9}{(4+x)^2} < 0$ при $x \in (-\infty; -4)$.

Поскольку производная функции строго отрицательна на всем промежутке $(-\infty; -4)$, функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано. Производная $f'(x) = -\frac{9}{(4+x)^2}$ отрицательна ($f'(x) < 0$) на промежутке $(-\infty; -4)$, следовательно, функция $f(x) = \frac{9}{4+x}$ убывает на этом промежутке.

604. Постройте график функции:

1) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

2) $y = \frac{5x^2 + 4x - 1}{x + 1} - \frac{x^2 - 3x}{x}$

1) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Разложим на множители числители дробей.

Для числителя первой дроби $3x^2 - 10x + 3$ найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$, $x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $3x^2 - 10x + 3 = 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1)$.

Числитель второй дроби $x^2 - 1$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Подставим разложения в исходное уравнение:

$y = \frac{(x - 3)(3x - 1)}{x - 3} - \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$

Учитывая ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -1$), мы можем сократить дроби:

$y = (3x - 1) - (x - 1) = 3x - 1 - x + 1 = 2x$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = 2x$ за исключением двух "выколотых" точек, абсциссы которых не входят в ОДЗ.

Найдем координаты этих точек:

При $x = 3$, $y = 2 \cdot 3 = 6$. Выколотая точка $(3; 6)$.

При $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) = -2$. Выколотая точка $(-1; -2)$.

Для построения графика нужно начертить прямую $y = 2x$ (она проходит через начало координат $(0;0)$ и, например, точку $(1;2)$) и отметить на ней точки $(3; 6)$ и $(-1; -2)$ пустыми кружочками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x$ с выколотыми точками $(3; 6)$ и $(-1; -2)$.

2) $y = \frac{5x^2 + 4x - 1}{x + 1} - \frac{x^2 - 3x}{x}$

Найдем область определения функции (ОДЗ):

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x \neq 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение. Разложим на множители числители.

Для числителя первой дроби $5x^2 + 4x - 1$ найдем корни уравнения $5x^2 + 4x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, $x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.

Следовательно, разложение на множители: $5x^2 + 4x - 1 = 5(x - \frac{1}{5})(x - (-1)) = (5x - 1)(x + 1)$.

Для числителя второй дроби $x^2 - 3x$ вынесем $x$ за скобки: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.

Подставим разложения в исходное уравнение:

$y = \frac{(5x - 1)(x + 1)}{x + 1} - \frac{x(x - 3)}{x}$

Учитывая ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq 0$), сократим дроби:

$y = (5x - 1) - (x - 3) = 5x - 1 - x + 3 = 4x + 2$.

Функция представляет собой прямую $y = 4x + 2$ с двумя выколотыми точками.

Найдем координаты этих точек:

При $x = -1$, $y = 4 \cdot (-1) + 2 = -2$. Выколотая точка $(-1; -2)$.

При $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 + 2 = 2$. Выколотая точка $(0; 2)$.

Для построения графика нужно начертить прямую $y = 4x + 2$ (она пересекает ось OY в точке $(0;2)$ и проходит, например, через точку $(1;6)$) и отметить на ней выколотые точки $(-1; -2)$ и $(0; 2)$ пустыми кружочками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=4x+2$ с выколотыми точками $(-1; -2)$ и $(0; 2)$.

605. Существуют ли такие натуральные x и y, что $x^4 - y^4 = x^3 + y^3$?

Запишем исходное уравнение: $x^4 - y^4 = x^3 + y^3$, где $x$ и $y$ — натуральные числа ($x, y \in \mathbb{N}$).

Разложим обе части уравнения на множители, используя формулы разности четвертых степеней и суммы кубов:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$(x - y)(x + y)(x^2 + y^2) = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, их сумма $x+y \ge 1+1=2$. Так как $x+y \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на общий множитель $(x+y)$:

$(x - y)(x^2 + y^2) = x^2 - xy + y^2$

Проанализируем полученное уравнение, рассмотрев три возможных случая соотношения между натуральными числами $x$ и $y$.

1. Пусть $x = y$. Тогда левая часть уравнения обращается в ноль: $(x - x)(x^2 + x^2) = 0$. Правая часть при этом равна $x^2 - x \cdot x + x^2 = x^2$. Получаем равенство $x^2 = 0$, из которого следует, что $x=0$. Однако это противоречит условию, что $x$ — натуральное число ($x \ge 1$). Следовательно, случай $x=y$ не дает решений.

2. Пусть $x > y$. Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, то разность $x-y$ является целым положительным числом, то есть $x-y \ge 1$. Умножая обе части этого неравенства на положительное число $x^2+y^2$, получаем $(x-y)(x^2+y^2) \ge x^2+y^2$. С другой стороны, из уравнения мы знаем, что $(x-y)(x^2+y^2) = x^2 - xy + y^2$. Объединяя эти два факта, получаем неравенство $x^2+y^2 \le x^2 - xy + y^2$. Вычитая $x^2+y^2$ из обеих частей, приходим к $0 \le -xy$, или $xy \le 0$. Но для натуральных $x$ и $y$ их произведение $xy$ должно быть строго положительным ($xy \ge 1$). Полученное противоречие означает, что случай $x>y$ также невозможен.

3. Пусть $x < y$. В этом случае разность $x-y$ отрицательна. Поскольку $x^2+y^2$ всегда положительно, левая часть уравнения $(x-y)(x^2+y^2)$ отрицательна. Рассмотрим правую часть: $x^2 - xy + y^2$. Её можно преобразовать, выделив полный квадрат: $x^2 - xy + y^2 = (x^2 - xy + \frac{y^2}{4}) + \frac{3y^2}{4} = (x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2$. Так как $y$ — натуральное число, то $y \ge 1$, и $\frac{3}{4}y^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x - \frac{y}{2})^2 \ge 0$. Таким образом, правая часть уравнения всегда строго положительна. Равенство между отрицательной левой частью и положительной правой частью невозможно. Следовательно, и в этом случае решений нет.

Мы показали, что ни один из трех возможных случаев ($x=y$, $x>y$, $x<y$) не дает решений в натуральных числах. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: таких натуральных чисел $x$ и $y$ не существует.