Номер 599, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

599. Сколько существует семизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?

Для решения задачи необходимо рассмотреть два взаимоисключающих случая: когда все цифры семизначного числа являются чётными и когда все цифры являются нечётными. Итоговое количество будет равно сумме чисел, найденных в каждом случае.

Случай 1: все цифры чётные

Множество чётных цифр, которые можно использовать, это {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 цифр.Семизначное число представляет собой последовательность из 7 цифр. Первая цифра числа не может быть нулём, поэтому для неё существует 4 варианта (2, 4, 6 или 8). Для каждой из оставшихся шести позиций (со второй по седьмую) можно использовать любую из 5 чётных цифр.Используя комбинаторное правило произведения, получаем количество чисел, состоящих только из чётных цифр:

$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^6 = 4 \times 15625 = 62500$.

Случай 2: все цифры нечётные

Множество нечётных цифр, которые можно использовать, это {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 цифр.Поскольку ноль не является нечётной цифрой, ограничений на первую цифру нет. На каждую из семи позиций в числе можно поставить любую из 5 нечётных цифр.Используя правило произведения, получаем количество чисел, состоящих только из нечётных цифр:

$5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^7 = 78125$.

Чтобы найти общее количество семизначных чисел, у которых все цифры имеют одинаковую чётность, необходимо сложить количества, полученные в обоих случаях:

Общее количество = (количество чисел с чётными цифрами) + (количество чисел с нечётными цифрами) = $62500 + 78125 = 140625$.

Ответ: 140625.