Номер 601, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

601. Постройте в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y=2-x$. С помощью графиков укажите значения $x$, при которых значение функции $y=\sqrt{x}$ больше, чем значение функции $y=2-x$.

Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.

1. Для построения графика функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы) определим несколько ключевых точек. Область определения этой функции: $x \ge 0$.
- при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$; получаем точку (0, 0).
- при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$; получаем точку (1, 1).
- при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$; получаем точку (4, 2).
Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции $y = \sqrt{x}$.

2. Для построения графика функции $y = 2 - x$ (прямая линия) достаточно найти две точки, через которые она проходит.
- при $x=0$, $y=2-0=2$; получаем точку пересечения с осью OY (0, 2).
- при $y=0$, $0=2-x$, откуда $x=2$; получаем точку пересечения с осью OX (2, 0).
Проведя прямую через эти две точки, получим график функции $y = 2 - x$.

При построении обоих графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в одной точке.

С помощью графиков укажите значения x, при которых значение функции $y = \sqrt{x}$ больше, чем значение функции $y = 2 - x$.

Это требование означает, что нам нужно найти решения неравенства $\sqrt{x} > 2-x$. Графически это соответствует таким значениям $x$, при которых график функции $y=\sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y=2-x$.

Для этого сначала найдем точку пересечения графиков. Визуально из графика можно предположить, что абсцисса точки пересечения равна 1. Проверим это аналитически, решив уравнение $\sqrt{x} = 2-x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование требует, чтобы обе части были неотрицательны. Условие $x \ge 0$ следует из области определения корня. Условие $2-x \ge 0$, то есть $x \le 2$, также должно выполняться.
$(\sqrt{x})^2 = (2-x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета находим корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на соответствие условиям $x \ge 0$ и $x \le 2$:
- $x_1 = 1$ удовлетворяет обоим условиям ($0 \le 1 \le 2$). Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{1} = 2-1$, что дает верное равенство $1=1$.
- $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 2$. Этот корень является посторонним, он появился в результате возведения в квадрат.
Таким образом, графики пересекаются в единственной точке, абсцисса которой $x=1$.

Анализируя взаимное расположение графиков, видим, что:
- на интервале $[0, 1)$ график $y=\sqrt{x}$ находится ниже прямой $y=2-x$.
- в точке $x=1$ графики пересекаются.
- на интервале $(1, +\infty)$ график $y=\sqrt{x}$ находится выше прямой $y=2-x$.

Следовательно, значение функции $y=\sqrt{x}$ больше значения функции $y=2-x$ при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$