Номер 604, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

604. Постройте график функции:

1) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

2) $y = \frac{5x^2 + 4x - 1}{x + 1} - \frac{x^2 - 3x}{x}$

1) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Разложим на множители числители дробей.

Для числителя первой дроби $3x^2 - 10x + 3$ найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$, $x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $3x^2 - 10x + 3 = 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1)$.

Числитель второй дроби $x^2 - 1$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Подставим разложения в исходное уравнение:

$y = \frac{(x - 3)(3x - 1)}{x - 3} - \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$

Учитывая ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -1$), мы можем сократить дроби:

$y = (3x - 1) - (x - 1) = 3x - 1 - x + 1 = 2x$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = 2x$ за исключением двух "выколотых" точек, абсциссы которых не входят в ОДЗ.

Найдем координаты этих точек:

При $x = 3$, $y = 2 \cdot 3 = 6$. Выколотая точка $(3; 6)$.

При $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) = -2$. Выколотая точка $(-1; -2)$.

Для построения графика нужно начертить прямую $y = 2x$ (она проходит через начало координат $(0;0)$ и, например, точку $(1;2)$) и отметить на ней точки $(3; 6)$ и $(-1; -2)$ пустыми кружочками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x$ с выколотыми точками $(3; 6)$ и $(-1; -2)$.

2) $y = \frac{5x^2 + 4x - 1}{x + 1} - \frac{x^2 - 3x}{x}$

Найдем область определения функции (ОДЗ):

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x \neq 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение. Разложим на множители числители.

Для числителя первой дроби $5x^2 + 4x - 1$ найдем корни уравнения $5x^2 + 4x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, $x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.

Следовательно, разложение на множители: $5x^2 + 4x - 1 = 5(x - \frac{1}{5})(x - (-1)) = (5x - 1)(x + 1)$.

Для числителя второй дроби $x^2 - 3x$ вынесем $x$ за скобки: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.

Подставим разложения в исходное уравнение:

$y = \frac{(5x - 1)(x + 1)}{x + 1} - \frac{x(x - 3)}{x}$

Учитывая ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq 0$), сократим дроби:

$y = (5x - 1) - (x - 3) = 5x - 1 - x + 3 = 4x + 2$.

Функция представляет собой прямую $y = 4x + 2$ с двумя выколотыми точками.

Найдем координаты этих точек:

При $x = -1$, $y = 4 \cdot (-1) + 2 = -2$. Выколотая точка $(-1; -2)$.

При $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 + 2 = 2$. Выколотая точка $(0; 2)$.

Для построения графика нужно начертить прямую $y = 4x + 2$ (она пересекает ось OY в точке $(0;2)$ и проходит, например, через точку $(1;6)$) и отметить на ней выколотые точки $(-1; -2)$ и $(0; 2)$ пустыми кружочками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=4x+2$ с выколотыми точками $(-1; -2)$ и $(0; 2)$.