Номер 598, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

598. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов расставить две ладьи на стандартной шахматной доске размером 8x8 так, чтобы они не угрожали друг другу. Ладьи угрожают друг другу, если находятся на одной горизонтали (строке) или одной вертикали (столбце). Это означает, что для выполнения условия задачи ладьи должны стоять в разных строках и разных столбцах. Так как в условии не указано иное (например, что ладьи разного цвета), будем считать их неразличимыми.

Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Способ 1: Последовательная расстановка

1. Выбор места для первой ладьи. Шахматная доска имеет 64 клетки. Первую ладью можно поставить на любую из них. Таким образом, есть 64 способа разместить первую ладью.

2. Выбор места для второй ладьи. После того как первая ладья поставлена, она занимает одну строку и один столбец. Вторая ладья не может быть поставлена в ту же строку или в тот же столбец. Строка, в которой стоит первая ладья, содержит 8 клеток. Столбец содержит также 8 клеток. Сама клетка, на которой стоит ладья, посчитана дважды. Значит, количество клеток, которые "атакует" первая ладья (включая ту, на которой она стоит), равно $8 + 8 - 1 = 15$. Следовательно, для второй ладьи остаются свободными и безопасными $64 - 15 = 49$ клеток.

3. Подсчет общего числа способов. Если бы ладьи были различимы (например, белая и черная), то общее число способов было бы произведением числа вариантов для каждой ладьи: $64 \times 49 = 3136$. Но поскольку ладьи считаются неразличимыми, порядок их расстановки не имеет значения, т.е. пара позиций (A, B) не отличается от пары (B, A). Поэтому полученное произведение необходимо разделить на 2 (число перестановок двух ладей, $2!$).

Количество способов: $N = \frac{64 \times 49}{2} = 32 \times 49 = 1568$.

Способ 2: Комбинаторный подход (метод исключения)

1. Общее число способов расставить две ладьи. Сначала найдем общее количество способов разместить две неразличимые ладьи на 64 клетках без каких-либо ограничений. Это число сочетаний из 64 по 2: $C_{64}^2 = \binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2 \times 1} = 32 \times 63 = 2016$.

2. Число "запрещенных" расстановок. Теперь посчитаем количество способов, при которых ладьи бьют друг друга. Это происходит, если они стоят в одной строке или в одном столбце.

- Ладьи в одной строке. Сначала нужно выбрать одну из 8 строк. Затем в этой строке нужно выбрать 2 клетки из 8 для двух ладей. Число способов выбрать 2 клетки в одной строке: $C_8^2 = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$. Поскольку строк 8, общее число способов поставить ладьи в одну строку равно $8 \times 28 = 224$.

- Ладьи в одном столбце. Аналогично, сначала выбираем один из 8 столбцов. Затем в этом столбце выбираем 2 клетки из 8. Общее число способов поставить ладьи в один столбец равно $8 \times C_8^2 = 8 \times 28 = 224$.

Общее число "запрещенных" расстановок равно сумме способов для строк и столбцов: $224 + 224 = 448$.

3. Итоговый расчет. Чтобы найти число способов, при которых ладьи не бьют друг друга, вычтем число "запрещенных" расстановок из общего числа всех возможных расстановок: $N = 2016 - 448 = 1568$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1568.