Номер 597, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

597. Сколько существует семизначных чисел, которые делятся нацело на 25?

Для того чтобы найти количество семизначных чисел, которые делятся нацело на 25, воспользуемся комбинаторным подходом и признаком делимости на 25.

Признак делимости на 25: число делится на 25, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 25. Такими двузначными окончаниями являются 00, 25, 50 и 75. Всего существует 4 таких варианта.

Семизначное число имеет 7 разрядов. Рассмотрим, сколько вариантов существует для каждой цифры в числе.

1. Первая цифра (разряд миллионов): на этом месте может стоять любая цифра от 1 до 9, так как число не может начинаться с 0. Таким образом, есть 9 вариантов для первой цифры.

2. Цифры со второй по пятую (разряды сотен тысяч, десятков тысяч, тысяч и сотен): на каждом из этих четырёх мест может стоять любая цифра от 0 до 9. Это даёт по 10 вариантов для каждой из этих четырёх позиций.

3. Последние две цифры (разряды десятков и единиц): как было сказано ранее, эти две цифры должны образовывать число, кратное 25. Существует 4 таких варианта: 00, 25, 50, 75.

Теперь, чтобы найти общее количество таких семизначных чисел, нужно перемножить количество возможных вариантов для каждой позиции:

(варианты для первой цифры) × (варианты для второй цифры) × (варианты для третьей цифры) × (варианты для четвертой цифры) × (варианты для пятой цифры) × (варианты для последних двух цифр)

Количество чисел = $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 4$

Выполним вычисления:
$N = 9 \times 10^4 \times 4 = 36 \times 10000 = 360000$

Следовательно, существует 360 000 семизначных чисел, которые делятся нацело на 25.

Ответ: 360000.