Номер 594, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

594. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых должны быть различными, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Для решения этой задачи нужно найти количество пятизначных чисел, которые можно составить из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4}, при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование комбинаторного правила произведения

Мы можем рассматривать создание числа как последовательное заполнение пяти позиций (разрядов) цифрами, учитывая все ограничения.

Первая цифра (разряд десятков тысяч): На эту позицию нельзя поставить 0, иначе число не будет пятизначным. Следовательно, для первой цифры у нас есть 4 варианта выбора: 1, 2, 3 или 4.

Вторая цифра (разряд тысяч): Мы уже использовали одну цифру. Из исходного набора {0, 1, 2, 3, 4} у нас осталось 4 неиспользованные цифры (теперь 0 можно использовать). Следовательно, для второй позиции есть 4 варианта.

Третья цифра (разряд сотен): Две цифры уже заняты. Осталось 3 свободные цифры, поэтому есть 3 варианта.

Четвертая цифра (разряд десятков): Три цифры заняты. Осталось 2 свободные цифры, то есть 2 варианта.

Пятая цифра (разряд единиц): Четыре цифры заняты. Осталась всего 1 последняя цифра, то есть 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$N = 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Способ 2: Метод перестановок с исключением

Сначала найдем общее количество всех возможных перестановок из пяти данных цифр {0, 1, 2, 3, 4}. Это число равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5$.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Это число включает в себя все последовательности цифр, в том числе и те, которые начинаются с 0. Такие последовательности не являются пятизначными числами (например, 01234 — это на самом деле четырехзначное число 1234). Мы должны вычесть количество таких "неправильных" последовательностей.

Найдем количество перестановок, которые начинаются с 0. Если первая цифра зафиксирована как 0, то остальные четыре позиции нужно заполнить оставшимися четырьмя цифрами {1, 2, 3, 4}. Количество способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $P_4$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Теперь вычтем количество "неправильных" перестановок (тех, что начинаются с 0) из общего количества перестановок, чтобы найти количество искомых пятизначных чисел:
$N = P_5 - P_4 = 120 - 24 = 96$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 96