Номер 596, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

596. Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5?

Для того чтобы найти количество пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5, необходимо определить диапазон этих чисел и применить правило делимости на 5.

Пятизначными числами являются все целые числа от 10000 до 99999. Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — это 0 или 5.

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Комбинаторный метод

Рассмотрим пятизначное число как последовательность из пяти цифр. Определим, сколько вариантов возможно для каждой позиции:

• Первая цифра (разряд десятков тысяч): на этом месте может быть любая цифра от 1 до 9. Ноль не подходит, так как иначе число не будет пятизначным. Таким образом, есть 9 вариантов.
• Вторая, третья и четвертая цифры: на этих местах может стоять любая цифра от 0 до 9. Для каждой из этих позиций есть по 10 вариантов.
• Пятая цифра (разряд единиц): чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. Таким образом, для этой позиции есть 2 варианта.

Для нахождения общего количества таких чисел нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество чисел = $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 2 = 18000$.

Способ 2: Арифметическая прогрессия

Все пятизначные числа, которые делятся на 5, образуют арифметическую прогрессию.

• Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее пятизначное число, кратное 5, то есть 10000.
• Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее пятизначное число, кратное 5, то есть 99995.
• Разность прогрессии ($d$) равна 5.

Чтобы найти количество членов ($n$) в этой прогрессии, используем формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$99995 = 10000 + (n-1) \cdot 5$

Теперь решим уравнение относительно $n$:

$99995 - 10000 = (n-1) \cdot 5$

$89995 = (n-1) \cdot 5$

$n - 1 = \frac{89995}{5}$

$n - 1 = 17999$

$n = 17999 + 1 = 18000$

Оба способа показывают, что существует 18000 пятизначных чисел, делящихся на 5.

Ответ: 18000