Номер 595, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

595. Сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?

Для решения задачи необходимо найти количество пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, которые удовлетворяют двум условиям: все цифры в числе различны, и само число является чётным.

Поскольку все цифры в числе должны быть различны, а у нас есть 5 цифр для составления пятизначного числа, каждое такое число будет являться перестановкой цифр из набора {1, 2, 3, 4, 5}.

Условие чётности накладывает ограничение на последнюю цифру числа. Число является чётным, если оно оканчивается на чётную цифру. В заданном наборе цифр {1, 2, 3, 4, 5} есть две такие цифры: 2 и 4.

Применим комбинаторное правило произведения для подсчёта количества вариантов. Начнём формирование числа с выбора цифры для последнего разряда (единиц), так как на него наложено самое строгое ограничение.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц).
На эту позицию можно поставить только чётную цифру. У нас есть 2 варианта: 2 или 4.

2. Размещение оставшихся цифр.
После того, как последняя цифра выбрана, у нас остаются 4 неиспользованные цифры. Эти 4 цифры необходимо разместить на оставшихся четырёх позициях (десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки). Количество способов, которыми можно расположить 4 различных элемента на 4 местах, равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $P_4 = 4!$.

Вычислим значение факториала:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Это означает, что для каждого выбора последней цифры существует 24 способа расставить остальные.

3. Нахождение общего количества чисел.
Чтобы найти общее количество искомых чисел, нужно умножить количество вариантов для выбора последней цифры на количество вариантов для размещения остальных цифр:

Искомое количество чисел = $2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$.

Ответ: 48