Номер 602, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

602. Одному рабочему для выполнения производственного задания надо на 4 ч меньше, чем другому. Первый рабочий проработал 2 ч, а потом его сменил второй. После того как второй рабочий проработал 3 ч, оказалось, что выполнена $\frac{1}{2}$ часть задания. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий, работая самостоятельно?

Примем за $x$ количество часов, за которое может выполнить задание второй рабочий, работая самостоятельно. Согласно условию, первому рабочему для выполнения этого же задания требуется на 4 часа меньше, то есть $(x-4)$ часов. Поскольку время на выполнение работы должно быть положительным, $x-4 > 0$, следовательно, $x > 4$.

Производительность труда (объем работы, выполняемый за один час) для первого рабочего равна $\frac{1}{x-4}$, а для второго рабочего — $\frac{1}{x}$.

Первый рабочий проработал 2 часа, выполнив при этом часть задания, равную $2 \cdot \frac{1}{x-4} = \frac{2}{x-4}$.

После этого второй рабочий проработал 3 часа, выполнив часть задания, равную $3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Вместе они выполнили $\frac{1}{2}$ всего задания. Можем составить уравнение:

$\frac{2}{x-4} + \frac{3}{x} = \frac{1}{2}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{2x + 3(x-4)}{x(x-4)} = \frac{1}{2}$

$\frac{2x + 3x - 12}{x^2 - 4x} = \frac{1}{2}$

$\frac{5x - 12}{x^2 - 4x} = \frac{1}{2}$

Используем основное свойство пропорции:

$2(5x - 12) = 1(x^2 - 4x)$

$10x - 24 = x^2 - 4x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 10x + 24 = 0$

$x^2 - 14x + 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 24. Легко подобрать корни:

$x_1 = 12$

$x_2 = 2$

Теперь проверим корни на соответствие условию $x > 4$.

Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет условию, так как $12 > 4$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $2 \ngtr 4$. Этот корень является посторонним.

Таким образом, время, за которое второй рабочий может выполнить задание, составляет 12 часов.

Время первого рабочего составляет $x-4 = 12-4=8$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить задание за 8 часов, а второй — за 12 часов.