Номер 603, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

603. Докажите, что функция:

1) $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на промежутке $(-\infty; -2];$

2) $f(x) = \frac{9}{4 + x}$ убывает на промежутке $(-\infty; -4).$

1) f(x) = x² + 4x убывает на промежутке (−∞; −2];

Для доказательства того, что функция убывает на заданном промежутке, можно использовать производную. Функция является убывающей на некотором промежутке, если ее производная на этом промежутке меньше либо равна нулю ($f'(x) \le 0$).

Найдем производную функции $f(x) = x^2 + 4x$:

$f'(x) = (x^2 + 4x)' = (x^2)' + (4x)' = 2x + 4$.

Теперь определим знак производной на промежутке $(-\infty; -2]$. Возьмем любое значение $x$ из этого промежутка, то есть $x \le -2$.

Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):

$2x \le -4$

Прибавим к обеим частям 4:

$2x + 4 \le 0$

Таким образом, мы получили, что $f'(x) \le 0$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; -2]$. Поскольку производная функции неположительна на данном промежутке (и обращается в ноль только в одной точке $x = -2$), функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано. Производная $f'(x) = 2x+4$ является неположительной ($f'(x) \le 0$) на промежутке $(-\infty; -2]$, следовательно, функция $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на этом промежутке.

2) f(x) = $\frac{9}{4 + x}$ убывает на промежутке (−∞; −4).

Для доказательства также воспользуемся производной. Функция убывает на промежутке, где ее производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

Представим функцию в виде $f(x) = 9(4+x)^{-1}$ и найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (9(4+x)^{-1})' = 9 \cdot (-1) \cdot (4+x)^{-2} \cdot (4+x)' = -9(4+x)^{-2} \cdot 1 = -\frac{9}{(4+x)^2}$.

Теперь определим знак производной на промежутке $(-\infty; -4)$.

Знаменатель производной, выражение $(4+x)^2$, является квадратом числа. Для любого $x$ из промежутка $(-\infty; -4)$ выражение $4+x$ не равно нулю, поэтому $(4+x)^2$ всегда будет строго положительным.

Числитель производной равен $-9$, то есть является отрицательным числом.

Таким образом, производная $f'(x)$ представляет собой частное отрицательного числа и положительного числа, а значит, она всегда отрицательна на заданном промежутке:

$f'(x) = -\frac{9}{(4+x)^2} < 0$ при $x \in (-\infty; -4)$.

Поскольку производная функции строго отрицательна на всем промежутке $(-\infty; -4)$, функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано. Производная $f'(x) = -\frac{9}{(4+x)^2}$ отрицательна ($f'(x) < 0$) на промежутке $(-\infty; -4)$, следовательно, функция $f(x) = \frac{9}{4+x}$ убывает на этом промежутке.