Номер 3, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. При каких условиях частота случайного события может оценивать вероятность случайного события?

Частота случайного события может служить оценкой его вероятности при выполнении определенных условий, которые лежат в основе статистического определения вероятности и формулируются в законе больших чисел.

Для полного понимания необходимо разграничить два понятия. Вероятность события A, обозначаемая как $P(A)$, — это теоретическая, объективная числовая характеристика возможности наступления этого события. Относительная частота события A, обозначаемая как $W(A)$, — это экспериментальная величина, которая вычисляется по результатам серии испытаний как отношение числа испытаний $m$, в которых событие A наступило, к общему числу проведенных испытаний $n$. Формула для относительной частоты: $W(A) = \frac{m}{n}$.

Частота $W(A)$ является хорошей оценкой (приближением) для вероятности $P(A)$ при выполнении следующих ключевых условий:

1. Проведение большого числа испытаний. Это основное и самое важное условие. Закон больших чисел (в форме теоремы Якоба Бернулли) гласит, что при неограниченном увеличении числа независимых испытаний $n$ относительная частота события $W(A)$ сходится по вероятности к его истинной вероятности $P(A)$. Математически это можно выразить так: $ \lim_{n \to \infty} P(|W_n(A) - P(A)| < \varepsilon) = 1 $ для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$. Простыми словами, чем больше мы проводим опытов, тем меньше случайные отклонения и тем ближе наблюдаемая частота к теоретической вероятности. Например, если подбросить монету 10 раз, частота выпадения «орла» может сильно отличаться от 0.5 (например, быть 0.3 или 0.7). Но если подбросить ее 10 000 раз, частота с очень высокой долей уверенности будет находиться в узком диапазоне вокруг 0.5.

2. Однородность и независимость испытаний. Все испытания в серии должны быть однородными, то есть проводиться в одинаковых (или практически не меняющихся) условиях. Это гарантирует, что теоретическая вероятность события $P(A)$ остается постоянной для каждого отдельного испытания. Если условия меняются, то частота будет отражать некую «среднюю» вероятность по всем изменившимся условиям, а не оценивать конкретное значение. Также испытания должны быть независимыми, то есть исход одного испытания не должен влиять на исход другого.

Таким образом, связь между частотой и вероятностью носит статистический характер и проявляется только в длинной серии экспериментов.

Ответ: Частота случайного события может оценивать его вероятность при условии проведения большого количества независимых испытаний, в каждом из которых сохраняются одинаковые условия. Этот фундаментальный принцип теории вероятностей называется законом больших чисел. Чем больше число проведенных испытаний, тем, как правило, точнее относительная частота оценивает истинную вероятность события.