Номер 605, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

605. Существуют ли такие натуральные x и y, что $x^4 - y^4 = x^3 + y^3$?

Запишем исходное уравнение: $x^4 - y^4 = x^3 + y^3$, где $x$ и $y$ — натуральные числа ($x, y \in \mathbb{N}$).

Разложим обе части уравнения на множители, используя формулы разности четвертых степеней и суммы кубов:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$(x - y)(x + y)(x^2 + y^2) = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, их сумма $x+y \ge 1+1=2$. Так как $x+y \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на общий множитель $(x+y)$:

$(x - y)(x^2 + y^2) = x^2 - xy + y^2$

Проанализируем полученное уравнение, рассмотрев три возможных случая соотношения между натуральными числами $x$ и $y$.

1. Пусть $x = y$. Тогда левая часть уравнения обращается в ноль: $(x - x)(x^2 + x^2) = 0$. Правая часть при этом равна $x^2 - x \cdot x + x^2 = x^2$. Получаем равенство $x^2 = 0$, из которого следует, что $x=0$. Однако это противоречит условию, что $x$ — натуральное число ($x \ge 1$). Следовательно, случай $x=y$ не дает решений.

2. Пусть $x > y$. Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, то разность $x-y$ является целым положительным числом, то есть $x-y \ge 1$. Умножая обе части этого неравенства на положительное число $x^2+y^2$, получаем $(x-y)(x^2+y^2) \ge x^2+y^2$. С другой стороны, из уравнения мы знаем, что $(x-y)(x^2+y^2) = x^2 - xy + y^2$. Объединяя эти два факта, получаем неравенство $x^2+y^2 \le x^2 - xy + y^2$. Вычитая $x^2+y^2$ из обеих частей, приходим к $0 \le -xy$, или $xy \le 0$. Но для натуральных $x$ и $y$ их произведение $xy$ должно быть строго положительным ($xy \ge 1$). Полученное противоречие означает, что случай $x>y$ также невозможен.

3. Пусть $x < y$. В этом случае разность $x-y$ отрицательна. Поскольку $x^2+y^2$ всегда положительно, левая часть уравнения $(x-y)(x^2+y^2)$ отрицательна. Рассмотрим правую часть: $x^2 - xy + y^2$. Её можно преобразовать, выделив полный квадрат: $x^2 - xy + y^2 = (x^2 - xy + \frac{y^2}{4}) + \frac{3y^2}{4} = (x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2$. Так как $y$ — натуральное число, то $y \ge 1$, и $\frac{3}{4}y^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x - \frac{y}{2})^2 \ge 0$. Таким образом, правая часть уравнения всегда строго положительна. Равенство между отрицательной левой частью и положительной правой частью невозможно. Следовательно, и в этом случае решений нет.

Мы показали, что ни один из трех возможных случаев ($x=y$, $x>y$, $x<y$) не дает решений в натуральных числах. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: таких натуральных чисел $x$ и $y$ не существует.