Страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Приведите примеры случайных событий.

Случайное событие — это такой результат опыта или наблюдения, который при определённых условиях может как произойти, так и не произойти. Невозможно с абсолютной уверенностью предсказать его исход до момента совершения опыта. Изучением закономерностей таких событий занимается теория вероятностей.

Вот несколько развернутых примеров случайных событий:

Подбрасывание монеты

Это классический пример. При подбрасывании симметричной монеты возможны два основных исхода: выпадение «орла» или «решки». Мы не можем заранее знать, какой стороной упадёт монета. Каждый из этих исходов является случайным событием. Если монета идеальна, то вероятность каждого из исходов равна $1/2$. Например, для события $A$ = «выпал орёл», его вероятность записывается как $P(A) = 0.5$.

Бросок игральной кости

При броске стандартной шестигранной игральной кости (кубика) может выпасть любое целое число от 1 до 6. Выпадение конкретного числа, например, «четвёрки», является случайным событием. Вероятность выпадения любой определённой грани на правильном кубике составляет $1/6$. Более сложные случайные события также возможны, например, событие $B$ = «выпало чётное число очков». Исходами, благоприятствующими этому событию, являются 2, 4 и 6. Таким образом, вероятность события $B$ равна $P(B) = 3/6 = 1/2$.

Погодные явления

Событие «завтра в нашем городе пойдет снег» является случайным. Метеорологические прогнозы строятся на анализе огромного количества данных и позволяют оценить вероятность того или иного погодного явления, но они не могут дать стопроцентной гарантии. Погода зависит от множества сложных и хаотически взаимодействующих факторов, что делает точное предсказание невозможным.

Выигрыш в лотерею

Процесс розыгрыша лотереи — это эксперимент со случайными исходами. Выпадение определённой комбинации шаров или номеров — это случайность. Соответственно, выигрыш (как и проигрыш) в лотерею является случайным событием. Вероятность выигрыша главного приза обычно очень мала, так как количество возможных комбинаций огромно.

Извлечение карты из колоды

Представим стандартную карточную колоду из 52 карт. Если мы вытягиваем одну карту наугад, то событие $C$ = «вытянутая карта — король червей» является случайным. Так как в колоде только одна такая карта, его вероятность равна $P(C) = 1/52$. Событие $D$ = «вытянутая карта — пиковой масти» также случайно. В колоде 13 карт пиковой масти, поэтому его вероятность $P(D) = 13/52 = 1/4$.

Ответ: Примерами случайных событий являются: выпадение «орла» при подбрасывании монеты, выпадение числа «6» на игральном кубике, выигрыш в лотерею, дождь на следующей неделе, извлечение туза из колоды карт, поломка электроприбора в течение дня.

2. Опишите, что такое частота случайного события.

2. Частота случайного события (или относительная частота) — это величина, которая показывает, какая доля от общего числа проведённых испытаний (экспериментов) завершилась наступлением этого события. Это одна из основных характеристик случайного события в статистике, получаемая опытным путём.

Для вычисления частоты случайного события используется следующая формула:

$W(A) = \frac{N(A)}{N}$

где:

• $W(A)$ — частота события A;
• $N(A)$ — число испытаний, в которых событие A наступило (число благоприятных исходов);
• $N$ — общее число проведённых испытаний.

Свойства частоты:

• Значение частоты всегда находится в пределах от 0 до 1: $0 \le W(A) \le 1$.
• Частота невозможного события (которое ни разу не произошло в серии испытаний) равна 0.
• Частота достоверного события (которое происходило в каждом испытании) равна 1.

Отличие частоты от вероятности:

Важно различать частоту и вероятность. Вероятность — это теоретическая, предсказанная мера возможности наступления события, которая вычисляется до проведения опыта (например, вероятность выпадения «орла» при подбрасывании идеальной монеты равна $1/2$). Частота же — это экспериментальная, фактическая характеристика, которая определяется по результатам уже проведённых испытаний.

Согласно закону больших чисел, при увеличении числа испытаний ($N \to \infty$) частота случайного события $W(A)$ стремится к его теоретической вероятности $P(A)$. Поэтому частоту можно рассматривать как статистическую оценку вероятности.

Пример:

Предположим, мы подбрасываем игральный кубик 60 раз. Нас интересует событие A — «выпадение шестёрки». Допустим, в ходе эксперимента шестёрка выпала 11 раз.

В этом случае:

• Общее число испытаний $N = 60$.
• Число наступлений события A: $N(A) = 11$.

Частота события A будет равна:

$W(A) = \frac{11}{60} \approx 0.183$

При этом теоретическая вероятность выпадения шестёрки для идеального кубика равна $P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.167$. Как видно, полученная частота близка к теоретической вероятности.

Ответ: Частота случайного события — это отношение числа экспериментов, в которых это событие произошло, к общему числу проведённых экспериментов. Она вычисляется по формуле $W(A) = \frac{N(A)}{N}$, где $N$ — общее число испытаний, а $N(A)$ — число наступлений события A. Частота является экспериментальной оценкой теоретической вероятности события и при большом числе испытаний стремится к ней.

3. При каких условиях частота случайного события может оценивать вероятность случайного события?

Частота случайного события может служить оценкой его вероятности при выполнении определенных условий, которые лежат в основе статистического определения вероятности и формулируются в законе больших чисел.

Для полного понимания необходимо разграничить два понятия. Вероятность события A, обозначаемая как $P(A)$, — это теоретическая, объективная числовая характеристика возможности наступления этого события. Относительная частота события A, обозначаемая как $W(A)$, — это экспериментальная величина, которая вычисляется по результатам серии испытаний как отношение числа испытаний $m$, в которых событие A наступило, к общему числу проведенных испытаний $n$. Формула для относительной частоты: $W(A) = \frac{m}{n}$.

Частота $W(A)$ является хорошей оценкой (приближением) для вероятности $P(A)$ при выполнении следующих ключевых условий:

1. Проведение большого числа испытаний. Это основное и самое важное условие. Закон больших чисел (в форме теоремы Якоба Бернулли) гласит, что при неограниченном увеличении числа независимых испытаний $n$ относительная частота события $W(A)$ сходится по вероятности к его истинной вероятности $P(A)$. Математически это можно выразить так: $ \lim_{n \to \infty} P(|W_n(A) - P(A)| < \varepsilon) = 1 $ для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$. Простыми словами, чем больше мы проводим опытов, тем меньше случайные отклонения и тем ближе наблюдаемая частота к теоретической вероятности. Например, если подбросить монету 10 раз, частота выпадения «орла» может сильно отличаться от 0.5 (например, быть 0.3 или 0.7). Но если подбросить ее 10 000 раз, частота с очень высокой долей уверенности будет находиться в узком диапазоне вокруг 0.5.

2. Однородность и независимость испытаний. Все испытания в серии должны быть однородными, то есть проводиться в одинаковых (или практически не меняющихся) условиях. Это гарантирует, что теоретическая вероятность события $P(A)$ остается постоянной для каждого отдельного испытания. Если условия меняются, то частота будет отражать некую «среднюю» вероятность по всем изменившимся условиям, а не оценивать конкретное значение. Также испытания должны быть независимыми, то есть исход одного испытания не должен влиять на исход другого.

Таким образом, связь между частотой и вероятностью носит статистический характер и проявляется только в длинной серии экспериментов.

Ответ: Частота случайного события может оценивать его вероятность при условии проведения большого количества независимых испытаний, в каждом из которых сохраняются одинаковые условия. Этот фундаментальный принцип теории вероятностей называется законом больших чисел. Чем больше число проведенных испытаний, тем, как правило, точнее относительная частота оценивает истинную вероятность события.

4. Как обозначают вероятность события $A$?

4. В теории вероятностей для обозначения вероятности какого-либо события используется большая латинская буква $P$. Эта буква происходит от английского слова Probability, французского Probabilité или латинского Probabilitas, что в переводе означает "вероятность".

Событие, вероятность которого необходимо найти, указывается в круглых скобках после буквы $P$. Таким образом, вероятность наступления события $A$ обозначается как $P(A)$.

Например, если событие $A$ заключается в выпадении четного числа на игральной кости, то в этом случае имеется 3 благоприятных исхода (2, 4, 6) из 6 возможных. Вероятность этого события записывается так: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $P(A)$

606. Приведите примеры экспериментов, результатом которых, на ваш взгляд, является: 1) маловероятное событие; 2) очень вероятное событие.

1) маловероятное событие

Маловероятным событием называется событие, вероятность наступления которого очень мала, то есть близка к нулю. Такое событие не является невозможным, но в ходе единичного или небольшого числа экспериментов происходит крайне редко.

Пример 1: Выигрыш главного приза в лотерею. Рассмотрим популярную лотерею, в которой для выигрыша джекпота необходимо угадать 6 номеров из 49. Общее число всех возможных комбинаций из 6 номеров можно рассчитать по формуле сочетаний: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ где $n=49$ (общее количество номеров), а $k=6$ (количество номеров в комбинации). $C_{49}^{6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \, 983 \, 816$ Таким образом, существует почти 14 миллионов различных комбинаций. Вероятность угадать выигрышную комбинацию, купив один билет, равна: $P(\text{выигрыш}) = \frac{1}{13 \, 983 \, 816}$ Это число чрезвычайно мало, поэтому выигрыш главного приза в лотерею является классическим примером маловероятного события.

Пример 2: Выпадение «орла» 10 раз подряд. Эксперимент заключается в десятикратном подбрасывании симметричной монеты. Вероятность выпадения «орла» при одном подбрасывании равна $P(\text{орел}) = \frac{1}{2}$. Поскольку результаты подбрасываний являются независимыми событиями, вероятность того, что «орел» выпадет 10 раз подряд, вычисляется как произведение вероятностей: $P(\text{10 орлов подряд}) = (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$ Вероятность $ \frac{1}{1024} \approx 0.000977 $, что является очень малым значением. Следовательно, это маловероятное событие.

Ответ: Примерами маловероятных событий являются выигрыш главного приза в лотерею или выпадение одной и той же стороны монеты 10 раз подряд.

2) очень вероятное событие

Очень вероятным (или практически достоверным) событием называется событие, вероятность наступления которого очень близка к единице. Это означает, что при проведении эксперимента мы почти уверены в наступлении этого события. Часто вероятность такого события вычисляют через вероятность противоположного, маловероятного события.

Пример 1: Выпадение хотя бы одной «решки» при 10 подбрасываниях монеты. Рассмотрим тот же эксперимент с десятикратным подбрасыванием монеты. Событие «выпадет хотя бы одна решка» является противоположным (дополнительным) событию «все 10 раз выпадет орел». Вероятность противоположного события можно найти по формуле: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ где $P(A)$ — вероятность искомого события, а $P(\bar{A})$ — вероятность противоположного события. Мы уже рассчитали, что вероятность выпадения 10 «орлов» подряд равна $P(\text{10 орлов}) = \frac{1}{1024}$. Тогда вероятность того, что выпадет хотя бы одна «решка», равна: $P(\text{хотя бы одна решка}) = 1 - P(\text{10 орлов}) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$ Значение $ \frac{1023}{1024} \approx 0.999023 $ очень близко к 1. Следовательно, это очень вероятное событие.

Пример 2: Извлечение не туза из стандартной колоды карт. Эксперимент состоит в случайном извлечении одной карты из стандартной колоды (52 карты). В колоде 4 туза. Количество карт, не являющихся тузами, равно $52 - 4 = 48$. Вероятность извлечь карту, которая не является тузом, равна: $P(\text{не туз}) = \frac{\text{число не-тузов}}{\text{общее число карт}} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$ Значение $ \frac{12}{13} \approx 0.923 $, что является высоким показателем вероятности.

Ответ: Примерами очень вероятных событий являются выпадение хотя бы одной «решки» при 10 подбрасываниях монеты или то, что случайно выбранный ученик в классе из 30 человек родился не 1-го апреля.

607. Можно ли считать маловероятным событие:

1) при подбрасывании монеты 200 раз подряд выпал герб;

2) на следующей неделе вас вызовут к доске хотя бы один раз;

3) в матче ЦСКА – «Рубин» (Казань) зафиксирован результат 1 : 1;

4) нажимая наугад клавиши клавиатуры компьютера, получили слово «математика»?

Приведите примеры реальных ситуаций, в которых принятие решения определяется вероятностными характеристиками окружающих явлений.

1) при подбрасывании монеты 200 раз подряд выпал герб;

Вероятность выпадения герба при одном подбрасывании идеальной монеты составляет $1/2$. Поскольку каждое подбрасывание является независимым событием, вероятность того, что герб выпадет 200 раз подряд, равна произведению вероятностей каждого из этих 200 событий.

Математически это выражается как: $P = (\frac{1}{2})^{200} = \frac{1}{2^{200}}$

Это число является чрезвычайно малым (приблизительно $6.2 \times 10^{-61}$). Событие с такой ничтожно малой вероятностью считается практически невозможным, а следовательно, маловероятным.

Ответ: да, это событие можно считать маловероятным.

2) на следующей неделе вас вызовут к доске хотя бы один раз;

Вероятность этого события зависит от множества факторов: количества учеников в классе, числа уроков в неделю, стиля преподавания учителя (вызывает ли он учеников случайным образом, по списку, или по желанию).

Рассмотрим пример: в классе 25 учеников, в неделю проходит 5 уроков по предмету, и на каждом уроке учитель случайным образом вызывает одного ученика. Вероятность того, что вас не вызовут на одном уроке, равна $24/25$. Вероятность того, что вас не вызовут ни разу за 5 уроков, составляет $(\frac{24}{25})^5 \approx 0.815$. Тогда вероятность того, что вас вызовут хотя бы один раз, равна $1 - 0.815 = 0.185$, или 18.5%.

Эта вероятность достаточно велика. В реальной школьной жизни она может быть еще выше. Поэтому данное событие нельзя считать маловероятным, это рядовая ситуация.

Ответ: нет, это событие нельзя считать маловероятным.

3) в матче ЦСКА — «Рубин» (Казань) зафиксирован результат 1 : 1;

Исход футбольного матча — случайное событие, но некоторые результаты встречаются чаще других. Ничья — один из трех возможных исходов матча (победа первой команды, победа второй, ничья). Статистически, счет 1:1 является одним из самых распространенных результатов в футболе, особенно в матчах между командами сопоставимого уровня. Это вполне ожидаемый и регулярный исход.

Ответ: нет, это событие нельзя считать маловероятным.

4) нажимая наугад клавиши клавиатуры компьютера, получили слово «математика»?

Слово «математика» состоит из 10 букв. Для его получения необходимо нажать 10 определенных клавиш в строгой последовательности. Допустим, на клавиатуре есть 33 клавиши с буквами русского алфавита. Вероятность случайного нажатия нужной буквы в каждый момент времени составляет $1/33$.

Вероятность набрать слово «математика» случайным образом равна: $P = (\frac{1}{33})^{10}$

Это астрономически малое число, близкое к нулю. Если учесть все клавиши на клавиатуре (более 100), вероятность станет еще меньше. Такое событие является классическим примером крайне маловероятного события.

Ответ: да, это событие можно считать маловероятным.

Приведите примеры реальных ситуаций, в которых принятие решения определяется вероятностными характеристиками окружающих явлений.

1. Страхование. Страховые компании определяют стоимость полиса (страховую премию) на основе расчетов вероятности наступления страхового случая (например, автомобильной аварии, кражи или болезни) для определенной группы людей. Человек, в свою очередь, принимает решение о покупке страховки, интуитивно или осознанно оценивая для себя вероятность риска и величину потенциального ущерба.

2. Медицина. При постановке диагноза врач оценивает вероятность различных заболеваний, соответствующих симптомам пациента. Решение о проведении рискованной, но потенциально спасительной операции принимается после сравнения вероятности успеха с вероятностью негативного исхода, если операцию не делать.

3. Финансы и инвестиции. Инвесторы принимают решения о покупке или продаже акций, основываясь на вероятностном анализе рыночных тенденций. Они оценивают вероятность роста или падения стоимости активов, чтобы максимизировать прибыль и минимизировать риски. Диверсификация портфеля — это стратегия, основанная на том, что одновременное падение всех активов маловероятно.

4. Прогноз погоды и сельское хозяйство. Фермер решает, когда сажать, поливать или собирать урожай, основываясь на вероятностных прогнозах погоды (например, «вероятность осадков 80%»). Обычный человек, решая, брать ли с собой зонт, также опирается на вероятностный прогноз.

5. Контроль качества на производстве. Вместо проверки каждого изделия на конвейере производители тестируют случайную выборку из партии. На основе количества бракованных изделий в выборке с помощью статистических методов определяется вероятность того, что вся партия соответствует стандартам качества, после чего принимается решение о ее приемке или отбраковке.

608. Эксперимент состоит в бросании кнопки. Кнопка может упасть как остриём вниз, так и на шляпку (рис. 89). Подбросьте кнопку: 1) 10 раз; 2) 20 раз; 3) 50 раз; 4) 100 раз. Результаты, полученные в четырёх сериях экспериментов, занесите в таблицу.

Рис. 89

Номер серии: 1, 2, 3, 4

Количество экспериментов (бросков) в серии: 10, 20, 50, 100

Количество выпадений кнопки остриём вниз:

Количество выпадений кнопки остриём вверх:

В каждой из четырёх серий экспериментов подсчитайте частоту выпадения кнопки остриём вверх и оцените вероятность этого события. Какое событие более вероятно: «кнопка упадёт остриём вниз» или «кнопка упадёт остриём вверх»?

Поскольку данная задача предполагает проведение физического эксперимента, который невозможно осуществить в цифровом формате, мы проведем его мысленно. Результаты, которые мы занесем в таблицу, являются смоделированными, но они отражают реальную физическую закономерность: из-за расположения центра тяжести канцелярская кнопка значительно чаще падает на шляпку (остриём вверх), чем на остриё (остриём вниз).

Заполненная таблица с результатами четырёх серий экспериментов:

В каждой из четырёх серий экспериментов подсчитайте частоту выпадения кнопки остриём вверх и оцените вероятность этого события. Какое событие более вероятно: «кнопка упадёт остриём вниз» или «кнопка упадёт остриём вверх»?

Сначала подсчитаем относительную частоту события «кнопка упадёт остриём вверх» для каждой серии. Относительная частота (или статистическая вероятность) вычисляется по формуле $W(A) = m/n$, где $m$ – число выпадений остриём вверх, а $n$ – общее число бросков в серии.

• Частота для первой серии: $W_1 = 7/10 = 0.7$
• Частота для второй серии: $W_2 = 13/20 = 0.65$
• Частота для третьей серии: $W_3 = 31/50 = 0.62$
• Частота для четвёртой серии: $W_4 = 64/100 = 0.64$

Далее, оценим вероятность этого события. Согласно закону больших чисел, при увеличении числа испытаний относительная частота события стремится к его истинной вероятности. Наиболее точную оценку даёт серия с наибольшим числом экспериментов. В нашем случае это четвёртая серия с частотой 0.64. Видно, что частоты стабилизируются около этого значения. Таким образом, оценка вероятности события «кнопка упадёт остриём вверх» составляет примерно $P \approx 0.64$.

Наконец, определим, какое событие более вероятно. Сравним количество выпадений для каждого исхода: «остриём вверх» (7, 13, 31, 64) и «остриём вниз» (3, 7, 19, 36). Во всех сериях кнопка чаще падала остриём вверх. Рассчитанные частоты для этого события (0.7, 0.65, 0.62, 0.64) всегда больше 0.5. Это означает, что событие «кнопка упадёт остриём вверх» происходит чаще, чем «кнопка упадёт остриём вниз», и, следовательно, является более вероятным.

Ответ: На основе смоделированных данных, частоты выпадения кнопки остриём вверх по сериям равны: 0.7; 0.65; 0.62; 0.64. Оценка вероятности этого события составляет приблизительно 0.64. Более вероятным является событие «кнопка упадёт остриём вверх».