Страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

615. Вероятность купить бракованную батарейку равна $0,02$. Верно ли, что в любой партии из $100$ батареек есть две бракованные?

Нет, это утверждение неверно.

Вероятность, равная 0,02, является статистической характеристикой. Она означает, что при проверке очень большого числа батареек, в среднем 2 из каждых 100 будут бракованными. Однако это не гарантирует, что в каждой конкретной партии из 100 штук будет ровно две бракованные.

Число бракованных батареек в отдельной партии — это случайная величина. Хотя наиболее вероятное количество бракованных батареек равно $100 \cdot 0,02 = 2$ (это называется математическим ожиданием), фактическое их число может отличаться.

Например, вполне возможно, что в партии не окажется ни одной бракованной батарейки. Вероятность того, что одна батарейка исправна, составляет $1 - 0,02 = 0,98$. Тогда вероятность того, что все 100 батареек в партии окажутся исправными, равна $0,98^{100}$, что является положительным числом (примерно 0,13).

Поскольку существует ненулевая вероятность того, что в партии из 100 батареек будет 0, 1, 3 или любое другое количество бракованных, то утверждение, что в любой такой партии их ровно две, является ложным.

Ответ: Нет, неверно.

616. Вероятность попасть в мишень составляет 85 %. Может ли быть так, что в серии из 100 выстрелов было 98 попаданий в мишень?

Да, такая ситуация возможна. Давайте разберемся почему.

Вероятность — это мера возможности наступления некоторого события. Вероятность попадания в мишень 85% (или 0,85) означает, что при очень большом количестве выстрелов мы ожидаем, что примерно 85 из каждых 100 выстрелов будут удачными. Это теоретическое, усредненное значение.

Однако в реальной жизни, в конкретной серии из 100 выстрелов, результат может отличаться от теоретического. Каждый выстрел является случайным событием. Поскольку вероятность попадания не равна 100%, а вероятность промаха не равна 100%, то возможен любой исход от 0 до 100 попаданий.

Событие «98 попаданий в серии из 100 выстрелов» не является невозможным, хотя и маловероятно. Вероятность такого события можно рассчитать по формуле Бернулли:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Где:

• $n = 100$ — общее число выстрелов (испытаний).
• $k = 98$ — число попаданий (успехов).
• $p = 0,85$ — вероятность попадания при одном выстреле.
• $q = 1 - p = 1 - 0,85 = 0,15$ — вероятность промаха при одном выстреле.
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

В нашем случае вероятность будет:$P_{100}(98) = C_{100}^{98} \cdot (0,85)^{98} \cdot (0,15)^{2}$

Поскольку ни один из множителей в этой формуле не равен нулю, то и сама вероятность не равна нулю. Это означает, что такое событие, хоть и с очень малой вероятностью, но может произойти.

Таким образом, утверждение о 98 попаданиях из 100 не противоречит тому, что вероятность попадания составляет 85%.

Ответ: Да, может.

617. Приведённую таблицу называют «Учебный план для 9 класса общеобразовательных организаций Российской Федерации».

Предмет

Количество часов в неделю

Русский язык 2

Русская литература 3

Иностранный язык 3

История 2

Обществознание 1

Алгебра 3

Геометрия 2

Информатика 2

Биология 2

География 2

Физика 2

Химия 2

Технология и ИКТ 1

Музыка и ИЗО 1

Физкультура 2

Оцените вероятность того, что выбранный наугад урок в недельном расписании 9 класса окажется: 1) алгеброй; 2) геометрией; 3) математикой; 4) физкультурой; 5) иностранным языком.

Для оценки вероятности события воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

В данном случае, общее число исходов ($n$) — это общее количество уроков в неделю. Найдем его, просуммировав количество часов по всем предметам:

$n = 2 + 3 + 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 = 30$

Итак, всего в неделю 30 уроков.

1) алгеброй

Количество уроков алгебры в неделю (число благоприятных исходов) $m = 3$.
Вероятность того, что выбранный наугад урок окажется алгеброй, равна:
$P(\text{алгебра}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$
Ответ: $\frac{1}{10}$

2) геометрией

Количество уроков геометрии в неделю (число благоприятных исходов) $m = 2$.
Вероятность того, что выбранный наугад урок окажется геометрией, равна:
$P(\text{геометрия}) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
Ответ: $\frac{1}{15}$

3) математикой

Предполагается, что "математика" включает в себя уроки алгебры и геометрии. Общее количество уроков математики в неделю (число благоприятных исходов) равно сумме уроков алгебры и геометрии: $m = 3 + 2 = 5$.
Вероятность того, что выбранный наугад урок окажется математикой, равна:
$P(\text{математика}) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

4) физкультурой

Количество уроков физкультуры в неделю (число благоприятных исходов) $m = 2$.
Вероятность того, что выбранный наугад урок окажется физкультурой, равна:
$P(\text{физкультура}) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
Ответ: $\frac{1}{15}$

5) иностранным языком

Количество уроков иностранного языка в неделю (число благоприятных исходов) $m = 3$.
Вероятность того, что выбранный наугад урок окажется иностранным языком, равна:
$P(\text{иностранный язык}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$
Ответ: $\frac{1}{10}$

618. Выберите наугад одну страницу из романа М. Ю. Лермонтова «Герой нашего времени». Подсчитайте, сколько на этой странице окажется букв «н», «о», «я», «ю», а также сколько всего на ней букв. Оцените вероятность появления этих букв в выбранном тексте. Эта оценка позволит понять, почему на клавиатурах пишущей машинки и компьютера (рис. 91) буквы «н» и «о» расположены ближе к центру, а буквы «я» и «ю» – ближе к краю.

Рис. 91

Для решения задачи необходимо выбрать произвольный отрывок текста из романа М. Ю. Лермонтова «Герой нашего времени», подсчитать в нем общее количество букв и количество букв «н», «о», «я», «ю», а затем на основе этих данных оценить их вероятности и объяснить расположение на клавиатуре.

Подсчет количества букв в выбранном тексте

В качестве примера возьмем отрывок из начала главы «Бэла»:

Я ехал на перекладных из Тифлиса. Вся поклажа моей тележки состояла из одного небольшого чемодана, который до половины был набит путевыми записками о Грузии. Большая часть из них, к счастию для вас, утеряна, а чемодан с остальными вещами, к счастию для меня, остался цел.

Проведем подсчет букв в этом фрагменте (регистр не учитывается):

• Общее количество букв в тексте ($N$): 251
• Количество букв «н» ($m_н$): 17
• Количество букв «о» ($m_о$): 24
• Количество букв «я» ($m_я$): 7
• Количество букв «ю» ($m_ю$): 1

Ответ: В выбранном отрывке текста содержится 251 буква, из них: «н» – 17, «о» – 24, «я» – 7, «ю» – 1.

Оценка вероятности появления букв

Вероятность (статистическую частоту) появления буквы в тексте можно оценить по формуле классической вероятности:

$P(\text{буква}) = \frac{m}{N}$

где $m$ — количество появлений конкретной буквы, а $N$ — общее количество букв в тексте. Рассчитаем эту величину для каждой из указанных букв:

• Вероятность появления буквы «н»: $P(н) = \frac{17}{251} \approx 0,068$ (или 6,8%)
• Вероятность появления буквы «о»: $P(о) = \frac{24}{251} \approx 0,096$ (или 9,6%)
• Вероятность появления буквы «я»: $P(я) = \frac{7}{251} \approx 0,028$ (или 2,8%)
• Вероятность появления буквы «ю»: $P(ю) = \frac{1}{251} \approx 0,004$ (или 0,4%)

Ответ: Оценка вероятности появления букв в выбранном тексте следующая: P(о) ≈ 9,6%, P(н) ≈ 6,8%, P(я) ≈ 2,8%, P(ю) ≈ 0,4%.

Объяснение расположения букв на клавиатуре

Полученные оценки вероятностей показывают, что буквы «о» и «н» встречаются в тексте значительно чаще, чем буквы «я» и «ю». Этот факт является ключевым для понимания раскладки клавиатуры (например, стандартной русской раскладки ЙЦУКЕН, показанной на рис. 91).

Принципы эргономики требуют, чтобы наиболее часто используемые символы располагались в самых удобных для пальцев местах. Это позволяет увеличить скорость набора текста и снизить утомляемость рук. Самыми удобными зонами на клавиатуре являются центральные клавиши в среднем (основном) и верхнем рядах, так как они легко доступны для самых сильных и ловких пальцев (указательных и средних) при слепом методе печати.

• Буквы «н» и «о» — одни из самых частотных в русском языке. Поэтому они расположены в «золотой» зоне: «о» находится в основном ряду (ФЫВА-ОЛДЖ) под безымянным пальцем правой руки, а «н» — в легкодоступном верхнем ряду под указательным пальцем правой руки.
• Буквы «я» и «ю» — редкие. Их разместили в менее удобных позициях: «я» находится в нижнем ряду, который требует большего движения пальцев, а «ю» — в том же нижнем ряду, но с краю, под одним из самых слабых пальцев (мизинцем или безымянным).

Таким образом, расположение букв на клавиатуре не случайно, а является результатом оптимизации, основанной на частотном анализе букв в языке.

Ответ: Расположение букв на клавиатуре напрямую связано с частотой их использования в языке: часто встречающиеся буквы «н» и «о» размещены в центре для удобства и скорости набора, в то время как редкие буквы «я» и «ю» вынесены на менее удобные позиции на периферии.