Страница 176 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое событие называют достоверным?

1. В теории вероятностей достоверным событием называют такое событие, которое в результате некоторого испытания (или эксперимента) обязательно произойдет. Иными словами, это событие, которое не может не случиться при данных условиях.

Достоверное событие включает в себя все возможные исходы данного эксперимента. В терминах теории множеств, если $\Omega$ — это пространство элементарных исходов (множество всех возможных результатов), то достоверное событие — это само множество $\Omega$.

Вероятность достоверного события всегда равна единице. Если обозначить достоверное событие как $D$, то его вероятность $P(D)$ равна: $P(D) = 1$.

Примерами достоверных событий могут служить: при подбрасывании стандартного игрального кубика выпадет число от 1 до 6; из корзины с яблоками достанут яблоко; после вторника наступит среда.

Противоположностью достоверному событию является невозможное событие — то, которое не может произойти ни при каких обстоятельствах, и его вероятность равна 0.

Ответ: Достоверным событием называется событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Вероятность такого события равна 1.

2. Какое событие называют невозможным?

2. Какое событие называют невозможным?

В теории вероятностей невозможным событием называют такое событие, которое в результате данного испытания или эксперимента не может произойти ни при каких обстоятельствах. Иными словами, его наступление полностью исключено условиями проведения опыта.

Вероятность невозможного события всегда равна нулю. Если обозначить невозможное событие буквой $A$, то его вероятность записывается как $P(A) = 0$. Согласно классическому определению вероятности, вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных исходов ($n$). Для невозможного события число благоприятствующих исходов $m$ равно 0, следовательно, его вероятность $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{0}{n} = 0$.

Для лучшего понимания рассмотрим несколько наглядных примеров. Пример 1: Выпадение числа 7 при однократном броске стандартной шестигранной игральной кости. Так как на гранях кости есть только числа от 1 до 6, выпадение 7 является невозможным событием. Пример 2: Извлечение белого шара из урны, в которой находятся только черные шары. Это событие никогда не произойдет, так как в урне отсутствуют белые шары. Пример 3: Вода замерзает при температуре +20 °C (при нормальном атмосферном давлении). Это невозможно, так как вода замерзает при 0 °C.

В аксиоматике теории вероятностей пространство всех возможных элементарных исходов эксперимента обозначается как $Ω$. Любое событие является подмножеством этого пространства. Невозможное событие соответствует пустому множеству $∅$, так как оно не содержит ни одного элементарного исхода. По определению, вероятность пустого множества равна нулю: $P(∅) = 0$.

Ответ: Невозможным событием называют событие, которое в рамках данного эксперимента не может произойти ни при каких условиях. Вероятность такого события всегда равна 0.

3. Какова вероятность:

1) достоверного события;

2) невозможного события?

1) достоверного события

Достоверным называют событие, которое в результате некоторого испытания обязательно произойдет. То есть его наступление гарантировано со 100% уверенностью.

Вероятность любого события $A$ определяется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов испытания, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Для достоверного события любой возможный исход является благоприятствующим. Это означает, что число благоприятствующих исходов $m$ равно общему числу возможных исходов $n$. Подставив $m = n$ в формулу, получаем: $P(\text{достоверное событие}) = \frac{n}{n} = 1$.

Пример: При подбрасывании стандартного игрального кубика событие «выпадет число очков, не превышающее 6» является достоверным. Здесь общее число исходов $n = 6$ (могут выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6), и все они благоприятствуют данному событию, то есть $m = 6$. Вероятность такого события равна $P = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $1$.

2) невозможного события

Невозможным называют событие, которое в результате некоторого испытания заведомо не может произойти.

Используя ту же классическую формулу вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, рассмотрим случай невозможного события. Для такого события не существует ни одного исхода, который бы ему благоприятствовал. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m$ равно нулю.

Подставив $m = 0$ в формулу, получаем: $P(\text{невозможное событие}) = \frac{0}{n} = 0$.

Пример: При подбрасывании стандартного игрального кубика событие «выпадет 7 очков» является невозможным. Общее число возможных исходов $n = 6$, но ни один из них не является «выпадением 7 очков». Таким образом, число благоприятствующих исходов $m=0$. Вероятность этого события равна $P = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: $0$.

4. Приведите примеры равновероятных событий.

Равновероятные (или равновозможные) события — это события, которые в результате определенного испытания имеют одинаковые шансы на наступление. Это означает, что нет объективных причин считать, что одно из этих событий произойдет чаще другого. Ниже приведены развернутые примеры.

Подбрасывание симметричной монеты

При подбрасывании идеальной, симметричной монеты существует два элементарных исхода: выпадение «орла» и выпадение «решки». Поскольку монета считается «честной» (то есть ее масса равномерно распределена, и она не имеет дефектов), оба эти исхода имеют абсолютно одинаковую вероятность. Если обозначить событие A как выпадение «орла», а событие B — выпадение «решки», то их вероятности равны.

Вероятность каждого из этих событий: $P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$.

Ответ: Выпадение «орла» и выпадение «решки» при броске симметричной монеты.

Бросок игрального кубика

При броске стандартного шестигранного игрального кубика (кости), который является правильным (однородным, с центром тяжести в геометрическом центре), существует шесть возможных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждый из этих исходов является равновероятным. Вероятность выпадения любой конкретной грани одинакова.

Вероятность выпадения любой грани с числом $n$ (где $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$) составляет $P(n) = \frac{1}{6}$.

Ответ: Выпадение любой из шести граней (1, 2, 3, 4, 5, 6) при броске правильного игрального кубика.

Извлечение карты из хорошо перемешанной колоды

Рассмотрим стандартную, хорошо перемешанную колоду из 52 карт. Событие, заключающееся в извлечении наугад любой одной конкретной карты, является равновероятным для всех 52 карт. Например, вероятность вытащить «туза пик» точно такая же, как вероятность вытащить «двойку червей» или «короля бубен».

Вероятность вытащить любую определенную карту из колоды в 52 листа равна $P(\text{конкретная карта}) = \frac{1}{52}$.

Ответ: Извлечение любой определенной карты (например, «дамы пик») из хорошо перемешанной колоды.

Извлечение шара из урны

Представим урну (непрозрачный ящик), в которой находятся 7 красных и 7 синих шаров, полностью одинаковых по размеру, весу и текстуре. Шары тщательно перемешаны. В этом случае событие A — «вытащить наугад красный шар» и событие B — «вытащить наугад синий шар» являются равновероятными. Это происходит потому, что количество шаров каждого цвета одинаково.

Всего в урне $7 + 7 = 14$ шаров. Вероятность вытащить красный шар: $P(A) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$. Вероятность вытащить синий шар: $P(B) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$. Так как $P(A) = P(B)$, события равновероятны.

Ответ: Извлечение шара красного цвета и извлечение шара синего цвета из урны, содержащей одинаковое количество красных и синих шаров.

5. Сформулируйте классическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности применяется в ситуациях, когда можно выделить конечное число равновозможных исходов некоторого случайного эксперимента. Вероятностью случайного события $A$ называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех элементарных, несовместных и равновозможных исходов данного эксперимента.

Формула

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле:
$P(A) = \frac{m}{n}$

Компоненты формулы

• $P(A)$ – это вероятность наступления события $A$.
• $m$ – это число элементарных исходов, которые благоприятствуют событию $A$ (то есть исходы, при которых событие $A$ наступает).
• $n$ – это общее число всех возможных элементарных исходов эксперимента. Важно, чтобы все эти исходы были равновозможными (имели одинаковые шансы на осуществление) и образовывали полную группу событий (то есть в результате эксперимента обязательно произойдет один из этих исходов).

Условия применимости классического определения

• Общее число исходов эксперимента должно быть конечным (то есть $n$ – конечное число).
• Все элементарные исходы должны быть равновозможными. Это фундаментальное допущение, которое обычно основывается на симметрии условий проведения эксперимента (например, используется идеально сбалансированная монета или игральный кубик без дефектов).

Пример

Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию стандартного шестигранного игрального кубика. Необходимо найти вероятность того, что выпадет четное число.

1. Определение общего числа исходов ($n$): При броске кубика может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Все эти исходы равновозможны. Таким образом, общее число исходов $n=6$.
2. Определение события $A$: Событие $A$ заключается в том, что "выпало четное число".
3. Определение числа благоприятствующих исходов ($m$): Из всех возможных исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} четными являются числа {2, 4, 6}. Следовательно, число благоприятствующих событию $A$ исходов равно $m=3$.
4. Вычисление вероятности: Применяем формулу классической вероятности:
   $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Таким образом, вероятность выпадения четного числа при броске игрального кубика составляет $1/2$ или 0.5.

Ответ: Классическое определение вероятности формулируется так: вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных элементарных исходов ($n$) в данном эксперименте. Это выражается формулой $P(A) = \frac{m}{n}$. Данное определение применимо только тогда, когда число всех исходов конечно, и все они являются равновозможными.

625. Приведите примеры достоверных событий.

Достоверное событие в теории вероятностей — это событие, которое в результате определённого опыта или при заданных условиях обязательно произойдёт. Вероятность такого события всегда равна единице. Если $A$ — достоверное событие, то его вероятность $P(A) = 1$.

Ниже приведены примеры достоверных событий из различных областей.

Примеры из математики:

1. При подбрасывании стандартной игральной кости, на гранях которой нанесены числа от 1 до 6, событие «выпадет число, не превышающее 6» является достоверным. Все возможные исходы (1, 2, 3, 4, 5, 6) соответствуют этому условию.

2. Если в урне находятся только чёрные шары, то событие «из урны наугад вытащили чёрный шар» будет достоверным, поскольку шаров другого цвета в урне нет.

3. Для любого треугольника, построенного на евклидовой плоскости, событие «сумма его внутренних углов равна $180^\circ$» является достоверным. Это фундаментальная теорема геометрии.

Примеры из жизни и естественных наук:

1. Событие «за зимой наступит весна» является достоверным, так как оно основано на цикличной смене времён года на Земле.

2. В условиях земного притяжения событие «выпущенный из рук предмет упадёт вниз» является достоверным. Это следствие закона всемирного тяготения.

3. При нормальном атмосферном давлении событие «чистая вода, нагретая до температуры 100 градусов Цельсия, закипит» является достоверным, что подтверждается законами физики.

Ответ: Достоверным событием является событие, которое гарантированно произойдет в рамках данного эксперимента. Примеры: 1) при броске монеты выпадет либо орёл, либо решка; 2) из ящика с яблоками достанут яблоко; 3) после вторника наступит среда.

626. Приведите примеры невозможных событий.

Невозможное событие — это событие, которое в рамках проводимого эксперимента или рассматриваемой ситуации не может произойти ни при каких обстоятельствах. Вероятность невозможного события всегда равна нулю. В математике это записывается формулой: $P(A) = 0$, где $A$ — невозможное событие.

Вот несколько примеров невозможных событий из разных областей:

Пример из теории вероятностей
Событие: «при однократном подбрасывании стандартного игрального кубика выпало 7 очков».
Объяснение: Стандартный игральный кубик имеет шесть граней, на которых нанесены числа от 1 до 6. Максимальное число очков, которое может выпасть, — это 6. Следовательно, выпадение 7 очков является невозможным событием.

Пример из физики
Событие: «вода закипела при температуре +20°C при нормальном атмосферном давлении».
Объяснение: Согласно законам термодинамики, при нормальном атмосферном давлении вода кипит при температуре +100°C. Таким образом, её кипение при +20°C невозможно.

Пример из повседневной жизни
Событие: «человек, находясь в Москве, в то же самое время находится в Санкт-Петербурге».
Объяснение: Физический объект не может одновременно находиться в двух разных точках пространства. Это событие противоречит базовым логическим и физическим принципам.

Пример из геометрии
Событие: «сумма углов нарисованного на плоскости треугольника составила 210°».
Объяснение: В евклидовой геометрии, которую изучают в школе, сумма внутренних углов любого треугольника строго равна 180°. Поэтому построить треугольник с другой суммой углов на плоскости невозможно.

Пример из арифметики
Событие: «из коробки, в которой лежат только красные и синие карандаши, достали зеленый карандаш».
Объяснение: Если в множестве объектов (в коробке) нет элементов с определённым свойством (зеленого цвета), то выбрать такой элемент из этого множества невозможно.

Ответ: Примерами невозможных событий могут служить: выпадение 7 очков при броске игрального кубика; закипание воды при +20°C; нахождение человека в двух городах одновременно; получение треугольника на плоскости с суммой углов 210°; извлечение зелёного карандаша из коробки, где лежат только красные и синие.

627. В корзинке лежат 10 красных и 15 зелёных яблок. Какова вероятность взять наугад из корзинки грушу; яблоко?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

Сначала определим общее число фруктов в корзинке. Это будет общее число возможных исходов $n$.

$n = 10 \text{ (красных яблок)} + 15 \text{ (зелёных яблок)} = 25 \text{ (фруктов)}$

Теперь рассмотрим каждое событие отдельно.

грушу

Пусть событие A заключается в том, что из корзинки наугад взяли грушу. В корзинке находятся только яблоки, поэтому количество груш равно 0. Число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m=0$.

Вероятность взять грушу:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{0}{25} = 0$

Такое событие называется невозможным.

Ответ: 0.

яблоко

Пусть событие B заключается в том, что из корзинки наугад взяли яблоко. Поскольку все фрукты в корзинке — яблоки, любой выбранный фрукт будет яблоком. Число исходов, благоприятствующих событию B, равно общему числу фруктов в корзинке: $m=25$.

Вероятность взять яблоко:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{25}{25} = 1$

Такое событие называется достоверным.

Ответ: 1.