Страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

650. На скамейку произвольным образом садятся два мальчика и одна девочка. Какова вероятность того, что мальчики окажутся рядом?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = M/N$, где $N$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В нашем случае событие $A$ — это «мальчики оказались рядом».

1. Найдем общее число исходов N.
На скамейку садятся 3 человека (два мальчика и одна девочка). Общее число способов, которыми они могут разместиться, равно числу перестановок из 3 элементов.
$N = P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Таким образом, существует 6 возможных вариантов рассадки. Обозначим мальчиков как М1 и М2, а девочку как Д. Вот все возможные варианты:

• М1, М2, Д
• М2, М1, Д
• М1, Д, М2
• М2, Д, М1
• Д, М1, М2
• Д, М2, М1

2. Найдем число благоприятных исходов M.
Благоприятный исход — это рассадка, при которой оба мальчика сидят рядом. Чтобы посчитать количество таких исходов, мы можем мысленно объединить двух мальчиков в одну группу (ММ). Теперь нам нужно рассадить эту группу и девочку.
У нас есть 2 «объекта» для рассадки: (группа мальчиков) и (девочка). Число способов их рассадить равно числу перестановок из 2 элементов: $P_2 = 2! = 2$.
Это варианты: (ММ), Д и Д, (ММ).
Внутри группы мальчики (М1 и М2) могут поменяться местами. Число способов, которыми они могут это сделать, также равно числу перестановок из 2 элементов: $P_2 = 2! = 2$.
Это варианты: (М1, М2) и (М2, М1).
Чтобы получить общее число благоприятных исходов, нужно перемножить количество вариантов рассадки группы и девочки на количество вариантов рассадки мальчиков внутри группы:
$M = 2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.
Вот эти благоприятные исходы:

• М1, М2, Д
• М2, М1, Д
• Д, М1, М2
• Д, М2, М1

3. Вычислим вероятность.
Теперь мы можем найти искомую вероятность:
$P(A) = M/N = 4/6 = 2/3$.

Ответ: $2/3$.

651. В коробке лежат 5 зелёных и 7 синих карандашей. Какое наименьшее количество карандашей надо вынуть наугад, чтобы вероятность того, что среди вынутых карандашей хотя бы один будет зелёного цвета, была равной 1?

Данная задача требует найти наименьшее количество карандашей, которое нужно вынуть из коробки, чтобы событие "среди вынутых карандашей есть хотя бы один зелёный" стало достоверным. Достоверное событие — это событие, вероятность которого равна 1. Это означает, что мы должны гарантированно вынуть хотя бы один зелёный карандаш, вне зависимости от случайности выбора.

Для того чтобы гарантировать получение зелёного карандаша, мы должны рассмотреть самый неблагоприятный сценарий (принцип Дирихле). Наихудший возможный исход — это когда мы последовательно вынимаем все карандаши, которые не являются зелёными.

В коробке находятся:

• 5 зелёных карандашей
• 7 синих карандашей

Карандаши, не являющиеся зелёными, — это синие карандаши, и их всего 7.

В самом худшем случае нам "не повезёт" 7 раз подряд, и мы вынем все 7 синих карандашей. После того, как мы вынем 7 карандашей, и все они будут синими, в коробке останутся только зелёные карандаши.

Следовательно, следующий, восьмой по счёту, карандаш, который мы вынем, гарантированно будет зелёного цвета, так как других цветов в коробке не осталось. Если вынуть 7 карандашей, есть вероятность, что все они окажутся синими. Но если вынуть 8, то, так как синих всего 7, среди вынутых восьми карандашей обязательно окажется хотя бы один зелёный.

Таким образом, минимальное количество карандашей, которое нужно вынуть, равно количеству всех синих карандашей плюс ещё один: $7 + 1 = 8$.

Ответ: 8

652. В коробке лежат 3 красных, 7 жёлтых и 11 синих карандашей. Какое наименьшее количество карандашей надо вынуть наугад, чтобы вероятность того, что среди вынутых карандашей хотя бы один будет красного цвета, была равна 1?

В данной задаче требуется определить наименьшее количество карандашей, которое нужно вынуть из коробки, чтобы событие "среди вынутых карандашей есть хотя бы один красный" стало достоверным. Вероятность достоверного события равна 1.

Чтобы гарантировать, что мы вынем хотя бы один красный карандаш, необходимо рассмотреть самый неблагоприятный (худший) сценарий. Худший случай заключается в том, что мы будем последовательно вынимать все карандаши, которые не являются красными.

В коробке находятся карандаши следующих цветов:

• 3 красных
• 7 жёлтых
• 11 синих

Карандаши, которые не являются красными, — это жёлтые и синие. Посчитаем их общее количество:

$7 \text{ (жёлтых)} + 11 \text{ (синих)} = 18 \text{ (некрасных карандашей)}$

В худшем случае мы можем вынуть 18 карандашей подряд, и все они окажутся жёлтыми или синими. После того, как мы вынем все 18 некрасных карандашей, в коробке останутся только 3 красных карандаша.

Следовательно, следующий карандаш, который мы вынем, будет 19-м по счёту, и он гарантированно окажется красным. Таким образом, чтобы с вероятностью 1 получить хотя бы один красный карандаш, нужно вынуть количество карандашей, равное сумме всех некрасных карандашей плюс один.

Расчёт: $18 + 1 = 19$

Ответ: 19

653. Бросают одновременно два игральных кубика. С помощью рисунка 93 установите, какова вероятность того, что выпадут:

1) две единицы;

2) два одинаковых числа;

3) числа, сумма которых равна 7;

4) числа, сумма которых больше 10;

5) числа, произведение которых равно 6.

При броске двух игральных кубиков общее число равновозможных исходов равно произведению числа граней каждого кубика. Так как у стандартного кубика 6 граней, общее число исходов $N$ при броске двух кубиков составляет:
$N = 6 \times 6 = 36$.
Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности:
$P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

1) две единицы;

Событие заключается в том, что на обоих кубиках выпадет число 1. Этому условию соответствует только один благоприятный исход: (1, 1).
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 1$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$.

2) два одинаковых числа;

Событие заключается в том, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа (такие комбинации называют дублями). Существует 6 таких исходов: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).
Число благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

3) числа, сумма которых равна 7;

Событие заключается в том, что сумма очков на двух кубиках равна 7. Перечислим все благоприятные исходы:
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
Всего таких исходов 6.
Число благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

4) числа, сумма которых больше 10;

Событие заключается в том, что сумма очков на кубиках строго больше 10. Это означает, что сумма может быть равна 11 или 12.
Исходы для суммы 11: (5, 6), (6, 5) — 2 исхода.
Исход для суммы 12: (6, 6) — 1 исход.
Общее число благоприятных исходов: $m = 2 + 1 = 3$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

5) числа, произведение которых равно 6.

Событие заключается в том, что произведение очков на двух кубиках равно 6. Перечислим все благоприятные исходы:
(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1).
Всего таких исходов 4.
Число благоприятных исходов $m = 4$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

654. Бросают одновременно две монеты. Какова вероятность того, что выпадут:

1) два герба;

2) герб и число?

Для решения задачи определим все возможные исходы при одновременном броске двух монет. Обозначим выпадение герба буквой "Г", а выпадение числа (решки) — буквой "Ч".

Всего существует 4 равновозможных исхода: ГГ (на обеих монетах герб), ГЧ (на первой — герб, на второй — число), ЧГ (на первой — число, на второй — герб), ЧЧ (на обеих монетах число). Общее число исходов $N=4$.

Вероятность события находится по классической формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

1) два герба;
Событию "выпали два герба" благоприятствует только один исход из четырёх: ГГ.
Значит, число благоприятных исходов $m = 1$.
Вероятность этого события:
$P(\text{два герба}) = \frac{m}{N} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

2) герб и число?
Событию "выпали герб и число" благоприятствуют два исхода: ГЧ и ЧГ. Порядок выпадения не имеет значения.
Значит, число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность этого события:
$P(\text{герб и число}) = \frac{m}{N} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

655. Какова вероятность того, что при трёх подбрасываниях монеты:

1) трижды выпадет герб;

2) дважды выпадет герб;

3) один раз выпадет герб;

4) хотя бы один раз выпадет герб?

Для решения задачи определим общее число равновозможных исходов. При каждом подбрасывании монеты возможны два исхода: герб (Г) или решка (Р). Поскольку монету подбрасывают трижды, общее число всех возможных комбинаций исходов равно $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Перечислим все возможные исходы:

• ГГГ
• ГГР
• ГРГ
• РГГ
• ГРР
• РГР
• РРГ
• РРР

Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = m/n$, где $n$ — общее число элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$. В нашем случае $n=8$.

1) трижды выпадет герб;
Событию "трижды выпадет герб" благоприятствует только одна комбинация из восьми возможных: ГГГ. Таким образом, число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность этого события равна: $P = m/n = 1/8$.
Ответ: $1/8$

2) дважды выпадет герб;
Событию "дважды выпадет герб" благоприятствуют исходы, где герб появляется ровно два раза. Это следующие комбинации: ГГР, ГРГ, РГГ. Число таких исходов $m=3$. Вероятность этого события равна: $P = m/n = 3/8$.
Ответ: $3/8$

3) один раз выпадет герб;
Событию "один раз выпадет герб" благоприятствуют исходы, где герб появляется ровно один раз. Это следующие комбинации: ГРР, РГР, РРГ. Число таких исходов $m=3$. Вероятность этого события равна: $P = m/n = 3/8$.
Ответ: $3/8$

4) хотя бы один раз выпадет герб?
Событие "хотя бы один раз выпадет герб" означает, что герб выпадет один, два или три раза. Проще найти вероятность противоположного события: "ни разу не выпадет герб", что то же самое, что "все три раза выпадет решка". Этому противоположному событию благоприятствует только один исход: РРР. Его вероятность равна $1/8$. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно, искомая вероятность равна разности между 1 и вероятностью противоположного события: $P(\text{хотя бы один герб}) = 1 - P(\text{ни одного герба}) = 1 - 1/8 = 7/8$.
Ответ: $7/8$

656. Какова вероятность того, что при двух бросках игрального кубика:

1) в первый раз выпадет число, которое меньше 5, а во второй – больше 4;

2) шестёрка выпадет только во второй раз;

3) в первый раз выпадет больше очков, чем во второй?

1) в первый раз выпадет число, которое меньше 5, а во второй — больше 4;
При броске игрального кубика может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как кубик бросают дважды, общее количество равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.
Определим события:
Событие A: "при первом броске выпало число меньше 5". Благоприятными для этого события являются исходы {1, 2, 3, 4}. Количество благоприятных исходов равно 4. Вероятность события A: $P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Событие B: "при втором броске выпало число больше 4". Благоприятными для этого события являются исходы {5, 6}. Количество благоприятных исходов равно 2. Вероятность события B: $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Поскольку броски кубика являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:
$P = P(A) \times P(B) = \frac{4}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$

2) шестёрка выпадет только во второй раз;
Это событие означает, что при первом броске не выпала шестёрка, а при втором — выпала.
Вероятность того, что при первом броске НЕ выпадет шестёрка (то есть выпадет любое из чисел {1, 2, 3, 4, 5}), равна $\frac{5}{6}$.
Вероятность того, что при втором броске выпадет шестёрка, равна $\frac{1}{6}$.
Так как события независимы, искомая вероятность равна произведению вероятностей этих двух событий:
$P = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$

3) в первый раз выпадет больше очков, чем во второй?
Пусть $x$ — число очков при первом броске, а $y$ — при втором. Нам нужно найти вероятность события $x > y$. Общее число исходов по-прежнему 36.
Можно решить задачу, рассмотрев все возможные исходы. Все исходы можно разделить на три непересекающиеся группы:
1. В первый раз выпало больше очков, чем во второй ($x > y$).
2. Во второй раз выпало больше очков, чем в первый ($y > x$).
3. Выпало одинаковое количество очков ($x = y$).
События $x > y$ и $y > x$ симметричны, поэтому их вероятности равны: $P(x > y) = P(y > x)$.
Найдем вероятность события $x = y$. Благоприятными исходами являются пары (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 6 благоприятных исходов.
Вероятность $P(x=y) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Сумма вероятностей всех трех групп равна 1:
$P(x > y) + P(y > x) + P(x = y) = 1$
$2 \times P(x > y) + \frac{1}{6} = 1$
$2 \times P(x > y) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
$P(x > y) = \frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$

657. Десять карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 10. Наугад выбирают две из них. Какова вероятность того, что произведение номеров выбранных карточек будет нечётным числом?

Для того чтобы найти вероятность события, необходимо разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

1. Найдем общее количество возможных исходов (N).

У нас есть 10 карточек, и мы выбираем из них 2. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для нахождения числа сочетаний из n элементов по k:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=10$ (общее количество карточек), а $k=2$ (количество выбираемых карточек).

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Таким образом, существует 45 различных способов выбрать 2 карточки из 10.

2. Найдем количество благоприятных исходов (M).

Произведение двух чисел является нечётным только в том случае, если оба этих числа нечётные. Следовательно, благоприятный исход — это выбор двух карточек с нечётными номерами.

Среди чисел от 1 до 10 есть 5 нечётных: 1, 3, 5, 7, 9.

Нам нужно найти количество способов выбрать 2 карточки из этих 5 нечётных. Снова используем формулу сочетаний, где теперь $n=5$ (количество нечётных карточек), а $k=2$.

$M = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Таким образом, существует 10 способов выбрать 2 карточки с нечётными номерами.

3. Найдем вероятность.

Вероятность $P$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{10}{45}$

Сократим дробь на 5:

$P = \frac{10 \div 5}{45 \div 5} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

658. Десять карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 10. Наугад выбирают две из них. Какова вероятность того, что сумма номеров выбранных карточек будет нечётным числом?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов, $n$. Это число способов выбрать 2 карточки из 10. Так как порядок выбора карточек не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний:

$n = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$.

Таким образом, существует 45 способов выбрать две карточки из десяти.

Далее найдем число благоприятных исходов, $m$. Благоприятный исход — это когда сумма номеров на двух выбранных карточках является нечётным числом. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно из слагаемых является чётным, а другое — нечётным.

Среди карточек с номерами от 1 до 10 имеется:

— 5 карточек с нечётными номерами (1, 3, 5, 7, 9).

— 5 карточек с чётными номерами (2, 4, 6, 8, 10).

Чтобы сумма номеров была нечётной, необходимо выбрать одну карточку с нечётным номером и одну с чётным. Количество способов выбрать одну нечётную карточку из пяти равно $C_5^1 = 5$. Количество способов выбрать одну чётную карточку из пяти также равно $C_5^1 = 5$.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов выбрать одну нечётную и одну чётную карточку равно:

$m = C_5^1 \cdot C_5^1 = 5 \cdot 5 = 25$.

Итак, число благоприятных исходов равно 25.

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{25}{45}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$

659. Эксперимент состоит в одновременном бросании четырёх игральных кубиков. Найдите вероятность того, что выпадут три шестёрки и одна пятёрка.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов. Формула имеет вид: $P = \frac{M}{N}$.

Сначала определим общее число всех возможных исходов ($N$). Эксперимент заключается в бросании четырёх игральных кубиков. У каждого кубика 6 граней, следовательно, для каждого броска существует 6 равновозможных исходов. Поскольку броски четырёх кубиков являются независимыми событиями, общее число комбинаций равно произведению числа исходов для каждого кубика:
$N = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$.

Далее определим число благоприятных исходов ($M$). Благоприятным исходом считается выпадение трёх шестёрок и одной пятёрки. Нам нужно посчитать, сколькими способами может возникнуть такая комбинация. Фактически, нам нужно расположить одну пятёрку на четырёх возможных позициях (кубиках). Выбрать место для пятёрки можно $C_4^1$ способами. На остальных трёх позициях должны выпасть шестёрки, что определяется однозначно.
Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 4 по 1:
$M = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 4$.
Эти четыре благоприятные комбинации таковы:
(5, 6, 6, 6)
(6, 5, 6, 6)
(6, 6, 5, 6)
(6, 6, 6, 5)

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:
$P = \frac{M}{N} = \frac{4}{1296}$.
Сократим полученную дробь на 4:
$P = \frac{1}{324}$.

Ответ: $\frac{1}{324}$