Номер 657, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

657. Десять карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 10. Наугад выбирают две из них. Какова вероятность того, что произведение номеров выбранных карточек будет нечётным числом?

Для того чтобы найти вероятность события, необходимо разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

1. Найдем общее количество возможных исходов (N).

У нас есть 10 карточек, и мы выбираем из них 2. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для нахождения числа сочетаний из n элементов по k:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=10$ (общее количество карточек), а $k=2$ (количество выбираемых карточек).

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Таким образом, существует 45 различных способов выбрать 2 карточки из 10.

2. Найдем количество благоприятных исходов (M).

Произведение двух чисел является нечётным только в том случае, если оба этих числа нечётные. Следовательно, благоприятный исход — это выбор двух карточек с нечётными номерами.

Среди чисел от 1 до 10 есть 5 нечётных: 1, 3, 5, 7, 9.

Нам нужно найти количество способов выбрать 2 карточки из этих 5 нечётных. Снова используем формулу сочетаний, где теперь $n=5$ (количество нечётных карточек), а $k=2$.

$M = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Таким образом, существует 10 способов выбрать 2 карточки с нечётными номерами.

3. Найдем вероятность.

Вероятность $P$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{10}{45}$

Сократим дробь на 5:

$P = \frac{10 \div 5}{45 \div 5} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$