Номер 659, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

659. Эксперимент состоит в одновременном бросании четырёх игральных кубиков. Найдите вероятность того, что выпадут три шестёрки и одна пятёрка.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов. Формула имеет вид: $P = \frac{M}{N}$.

Сначала определим общее число всех возможных исходов ($N$). Эксперимент заключается в бросании четырёх игральных кубиков. У каждого кубика 6 граней, следовательно, для каждого броска существует 6 равновозможных исходов. Поскольку броски четырёх кубиков являются независимыми событиями, общее число комбинаций равно произведению числа исходов для каждого кубика:
$N = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$.

Далее определим число благоприятных исходов ($M$). Благоприятным исходом считается выпадение трёх шестёрок и одной пятёрки. Нам нужно посчитать, сколькими способами может возникнуть такая комбинация. Фактически, нам нужно расположить одну пятёрку на четырёх возможных позициях (кубиках). Выбрать место для пятёрки можно $C_4^1$ способами. На остальных трёх позициях должны выпасть шестёрки, что определяется однозначно.
Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 4 по 1:
$M = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 4$.
Эти четыре благоприятные комбинации таковы:
(5, 6, 6, 6)
(6, 5, 6, 6)
(6, 6, 5, 6)
(6, 6, 6, 5)

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:
$P = \frac{M}{N} = \frac{4}{1296}$.
Сократим полученную дробь на 4:
$P = \frac{1}{324}$.

Ответ: $\frac{1}{324}$