Номер 658, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

658. Десять карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 10. Наугад выбирают две из них. Какова вероятность того, что сумма номеров выбранных карточек будет нечётным числом?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов, $n$. Это число способов выбрать 2 карточки из 10. Так как порядок выбора карточек не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний:

$n = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$.

Таким образом, существует 45 способов выбрать две карточки из десяти.

Далее найдем число благоприятных исходов, $m$. Благоприятный исход — это когда сумма номеров на двух выбранных карточках является нечётным числом. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно из слагаемых является чётным, а другое — нечётным.

Среди карточек с номерами от 1 до 10 имеется:

— 5 карточек с нечётными номерами (1, 3, 5, 7, 9).

— 5 карточек с чётными номерами (2, 4, 6, 8, 10).

Чтобы сумма номеров была нечётной, необходимо выбрать одну карточку с нечётным номером и одну с чётным. Количество способов выбрать одну нечётную карточку из пяти равно $C_5^1 = 5$. Количество способов выбрать одну чётную карточку из пяти также равно $C_5^1 = 5$.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов выбрать одну нечётную и одну чётную карточку равно:

$m = C_5^1 \cdot C_5^1 = 5 \cdot 5 = 25$.

Итак, число благоприятных исходов равно 25.

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{25}{45}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$