Номер 662, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

662. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2};$

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}};$

3) $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2} + \frac{1}{x^2 - 9};$

4) $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2} + \frac{2}{x^2 + 2x}.$

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$3 - 5x - 2x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$2x^2 + 5x - 3 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

$x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $2x^2 + 5x - 3 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции - это все значения $x$, удовлетворяющие условию $-3 \le x \le 0,5$.

Ответ: $x \in [-3; 0,5]$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}$ выражение под корнем должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе и деление на ноль недопустимо.

Решим строгое неравенство:

$3 - 5x - 2x^2 > 0$

Эквивалентное неравенство:

$2x^2 + 5x - 3 < 0$

Корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$ найдены в предыдущем пункте: $x_1 = -3$ и $x_2 = 0,5$.

Так как ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 3$ направлены вверх, неравенство $2x^2 + 5x - 3 < 0$ выполняется на интервале строго между корнями.

Следовательно, область определения функции - это все значения $x$, удовлетворяющие условию $-3 < x < 0,5$.

Ответ: $x \in (-3; 0,5)$.

3) Область определения функции $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2} + \frac{1}{x^2 - 9}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.

1. Для слагаемого $\sqrt{3 - 5x - 2x^2}$ область определения, как найдено в пункте 1, есть $x \in [-3; 0,5]$.

2. Для слагаемого $\frac{1}{x^2 - 9}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 9 \ne 0$

$x^2 \ne 9$

$x \ne 3$ и $x \ne -3$.

Теперь необходимо найти пересечение этих двух условий: $x \in [-3; 0,5]$ и $x \ne \pm 3$.

Точка $x=3$ не входит в отрезок $[-3; 0,5]$, поэтому это условие не влияет на результат.

Точка $x=-3$ является левой границей отрезка, и ее необходимо исключить, так как в этой точке знаменатель второго слагаемого обращается в ноль.

Таким образом, итоговая область определения: $(-3; 0,5]$.

Ответ: $x \in (-3; 0,5]$.

4) Область определения функции $f(x) = \sqrt{3 - 5x - 2x^2} + \frac{2}{x^2 + 2x}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.

1. Для слагаемого $\sqrt{3 - 5x - 2x^2}$ область определения, найденная в пункте 1, есть $x \in [-3; 0,5]$.

2. Для слагаемого $\frac{2}{x^2 + 2x}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 + 2x \ne 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 2) \ne 0$.

Отсюда $x \ne 0$ и $x \ne -2$.

Найдем пересечение условий: $x \in [-3; 0,5]$ и $x \ne 0, x \ne -2$.

Обе точки $x=0$ и $x=-2$ находятся внутри отрезка $[-3; 0,5]$. Следовательно, их необходимо исключить из области определения.

Разбиваем отрезок $[-3; 0,5]$ в точках $-2$ и $0$, получая объединение трех промежутков.

Итоговая область определения: $[-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 0,5]$.

Ответ: $x \in [-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 0,5]$.