Номер 650, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

650. На скамейку произвольным образом садятся два мальчика и одна девочка. Какова вероятность того, что мальчики окажутся рядом?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = M/N$, где $N$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В нашем случае событие $A$ — это «мальчики оказались рядом».

1. Найдем общее число исходов N.
На скамейку садятся 3 человека (два мальчика и одна девочка). Общее число способов, которыми они могут разместиться, равно числу перестановок из 3 элементов.
$N = P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Таким образом, существует 6 возможных вариантов рассадки. Обозначим мальчиков как М1 и М2, а девочку как Д. Вот все возможные варианты:

• М1, М2, Д
• М2, М1, Д
• М1, Д, М2
• М2, Д, М1
• Д, М1, М2
• Д, М2, М1

2. Найдем число благоприятных исходов M.
Благоприятный исход — это рассадка, при которой оба мальчика сидят рядом. Чтобы посчитать количество таких исходов, мы можем мысленно объединить двух мальчиков в одну группу (ММ). Теперь нам нужно рассадить эту группу и девочку.
У нас есть 2 «объекта» для рассадки: (группа мальчиков) и (девочка). Число способов их рассадить равно числу перестановок из 2 элементов: $P_2 = 2! = 2$.
Это варианты: (ММ), Д и Д, (ММ).
Внутри группы мальчики (М1 и М2) могут поменяться местами. Число способов, которыми они могут это сделать, также равно числу перестановок из 2 элементов: $P_2 = 2! = 2$.
Это варианты: (М1, М2) и (М2, М1).
Чтобы получить общее число благоприятных исходов, нужно перемножить количество вариантов рассадки группы и девочки на количество вариантов рассадки мальчиков внутри группы:
$M = 2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.
Вот эти благоприятные исходы:

• М1, М2, Д
• М2, М1, Д
• Д, М1, М2
• Д, М2, М1

3. Вычислим вероятность.
Теперь мы можем найти искомую вероятность:
$P(A) = M/N = 4/6 = 2/3$.

Ответ: $2/3$.