Номер 649, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

649. Карточки с номерами 1, 2, 3 произвольным образом разложили в ряд. Какова вероятность того, что карточки с нечётными номерами окажутся рядом?

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала определим общее число возможных способов разложить три карточки с номерами 1, 2 и 3 в ряд. Это количество перестановок из трех элементов, которое вычисляется как факториал числа 3:

$n = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Всего существует 6 возможных вариантов расположения карточек: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Далее определим число благоприятных исходов. Благоприятным является исход, при котором карточки с нечётными номерами (1 и 3) оказываются рядом. Чтобы посчитать такие варианты, мы можем мысленно "склеить" карточки 1 и 3 в один блок. Теперь у нас есть два объекта для расстановки: этот блок и карточка с номером 2.

Эти два объекта (блок {1,3} и карточка {2}) можно расположить в ряду $2! = 2$ способами:

• ([блок 1,3], 2)
• (2, [блок 1,3])

Внутри самого блока карточки 1 и 3 также можно поменять местами: (1, 3) и (3, 1). Это еще $2! = 2$ способа.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению числа способов расположить блоки и числа способов расположить карточки внутри блока:

$m = 2! \cdot 2! = 2 \cdot 2 = 4$

Перечислим эти благоприятные исходы:

• (1, 3, 2)
• (3, 1, 2)
• (2, 1, 3)
• (2, 3, 1)

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$