Номер 642, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

642. В коробке лежат 23 карточки, пронумерованные от 1 до 23. Из коробки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней написано число:

1) 12;

2) 24;

3) чётное;

4) нечётное;

5) кратное 3;

6) кратное 7;

7) двузначное;

8) простое;

9) в записи которого есть цифра 9;

10) в записи которого есть цифра 1;

11) в записи которого отсутствует цифра 5;

12) сумма цифр которого делится нацело на 5;

13) которое при делении на 7 даёт в остатке 5;

14) в записи которого отсутствует цифра 1?

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов. В данной задаче из коробки с 23 карточками (номера от 1 до 23) наугад вынимают одну. Следовательно, общее число равновозможных исходов для всех пунктов задачи равно $n=23$.

1) 12;

Среди чисел от 1 до 23 есть только одно число 12. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=1$. Вероятность того, что на карточке будет число 12, равна: $P = \frac{1}{23}$.

Ответ: $\frac{1}{23}$

2) 24;

Среди чисел от 1 до 23 нет числа 24. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=0$. Вероятность того, что на карточке будет число 24, равна: $P = \frac{0}{23} = 0$.

Ответ: $0$

3) чётное;

Среди чисел от 1 до 23 чётными являются: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22. Всего 11 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=11$. Вероятность вытянуть карточку с чётным числом равна: $P = \frac{11}{23}$.

Ответ: $\frac{11}{23}$

4) нечётное;

Среди чисел от 1 до 23 нечётными являются: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23. Всего 12 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=12$. Вероятность вытянуть карточку с нечётным числом равна: $P = \frac{12}{23}$.

Ответ: $\frac{12}{23}$

5) кратное 3;

Среди чисел от 1 до 23 кратными 3 являются: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Всего 7 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=7$. Вероятность вытянуть карточку с числом, кратным 3, равна: $P = \frac{7}{23}$.

Ответ: $\frac{7}{23}$

6) кратное 7;

Среди чисел от 1 до 23 кратными 7 являются: 7, 14, 21. Всего 3 таких числа. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=3$. Вероятность вытянуть карточку с числом, кратным 7, равна: $P = \frac{3}{23}$.

Ответ: $\frac{3}{23}$

7) двузначное;

Среди чисел от 1 до 23 двузначными являются числа от 10 до 23 включительно. Их количество: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23. Всего 14 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=14$. Вероятность вытянуть карточку с двузначным числом равна: $P = \frac{14}{23}$.

Ответ: $\frac{14}{23}$

8) простое;

Среди чисел от 1 до 23 простыми являются (число 1 не является ни простым, ни составным): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Всего 9 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=9$. Вероятность вытянуть карточку с простым числом равна: $P = \frac{9}{23}$.

Ответ: $\frac{9}{23}$

9) в записи которого есть цифра 9;

Среди чисел от 1 до 23 цифру 9 содержат числа: 9, 19. Всего 2 таких числа. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=2$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{2}{23}$.

Ответ: $\frac{2}{23}$

10) в записи которого есть цифра 1;

Среди чисел от 1 до 23 цифру 1 содержат числа: 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21. Всего 12 таких чисел. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=12$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{12}{23}$.

Ответ: $\frac{12}{23}$

11) в записи которого отсутствует цифра 5;

Сначала найдем числа от 1 до 23, в записи которых есть цифра 5. Это числа: 5, 15. Всего 2 таких числа. Следовательно, чисел, в записи которых цифра 5 отсутствует, будет $23 - 2 = 21$. Число благоприятствующих исходов $m=21$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{21}{23}$.

Ответ: $\frac{21}{23}$

12) сумма цифр которого делится нацело на 5;

Найдем числа от 1 до 23, сумма цифр которых делится на 5:

• 5 (сумма 5)
• 14 (сумма 1+4=5)
• 19 (сумма 1+9=10, 10 делится на 5)
• 23 (сумма 2+3=5)

Всего 4 таких числа. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=4$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{4}{23}$.

Ответ: $\frac{4}{23}$

13) которое при делении на 7 даёт в остатке 5;

Ищем числа вида $7k+5$ (где k — целое неотрицательное число), которые находятся в диапазоне от 1 до 23:

• При $k=0: 7 \cdot 0 + 5 = 5$
• При $k=1: 7 \cdot 1 + 5 = 12$
• При $k=2: 7 \cdot 2 + 5 = 19$
• При $k=3: 7 \cdot 3 + 5 = 26$ (не подходит, так как $>23$)

Всего 3 таких числа. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m=3$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{3}{23}$.

Ответ: $\frac{3}{23}$

14) в записи которого отсутствует цифра 1?

В пункте 10 мы нашли, что чисел с цифрой 1 в диапазоне от 1 до 23 всего 12. Следовательно, чисел, в записи которых цифра 1 отсутствует, будет $23 - 12 = 11$. Число благоприятствующих исходов $m=11$. Вероятность вытянуть карточку с таким числом равна: $P = \frac{11}{23}$.

Ответ: $\frac{11}{23}$