Страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

628. Наугад выбирают три чётные цифры. Какова вероятность того, что число, записанное этими цифрами, будет нечётным?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать условия формирования числа и свойство нечётности.

1. Определение чётных и нечётных цифр.
Множество всех цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Множество чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}.
Множество нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}.

2. Условие нечётности числа.
Число является нечётным тогда и только тогда, когда его последняя цифра является нечётной.

3. Анализ условия задачи.
В задаче сказано, что для составления числа наугад выбирают три чётные цифры. Это означает, что все три цифры, из которых будет составлено число, принадлежат множеству {0, 2, 4, 6, 8}.

4. Формирование числа.
Чтобы составить число из этих трёх выбранных цифр, мы должны расположить их в определённом порядке. Какая бы из этих трёх цифр ни оказалась на последнем месте, она будет чётной, так как все доступные нам цифры — чётные. Поскольку последняя цифра числа всегда будет чётной, то и само число, записанное этими цифрами, всегда будет чётным.

5. Расчёт вероятности.
Событие, вероятность которого нас просят найти, — "число, записанное этими цифрами, будет нечётным". Как мы выяснили, это событие невозможно, так как из чётных цифр можно составить только чётное число.Вероятность $P$ события вычисляется по формуле:$P = \frac{m}{n}$где $n$ — общее число возможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.
В нашем случае, число благоприятствующих исходов (т.е. количество способов составить нечётное число) равно $m = 0$.Общее число возможных исходов $n$ больше нуля (например, если выбраны цифры 2, 4, 6, можно составить число 246).
Таким образом, вероятность искомого события равна:$P = \frac{0}{n} = 0$

Ответ: 0.

629. Наугад выбирают три нечётные цифры. Какова вероятность того, что число, записанное этими цифрами, будет нечётным?

Для решения этой задачи необходимо определить, какие цифры являются нечётными и какое свойство числа определяет его нечётность.

Нечётными являются цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Всего их 5.

Число является нечётным тогда и только тогда, когда его последняя цифра (цифра в разряде единиц) является нечётной.

По условию задачи, мы выбираем три нечётные цифры и записываем ими число. Это означает, что каждая из трёх цифр, из которых состоит число, будет выбрана из множества {1, 3, 5, 7, 9}.

Пусть мы составляем трёхзначное число. Его можно представить в виде $d_1d_2d_3$, где $d_1$ — цифра сотен, $d_2$ — цифра десятков, и $d_3$ — цифра единиц.

Чтобы число $d_1d_2d_3$ было нечётным, его последняя цифра $d_3$ должна быть нечётной.

Поскольку по условию задачи все три выбираемые цифры являются нечётными, то цифра $d_3$, которая будет стоять в разряде единиц, в любом случае будет нечётной. Это следует из того, что она сама является одной из выбранных нечётных цифр.

Следовательно, любое число, записанное тремя нечётными цифрами, по определению будет нечётным. Событие, о котором спрашивается в задаче, является достоверным. Вероятность достоверного события равна 1.

Можно также применить классическую формулу вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Пусть цифры могут повторяться. Тогда общее число трёхзначных чисел, которые можно составить из 5 нечётных цифр, равно $n = 5 \times 5 \times 5 = 125$.

Число благоприятных исходов — это количество нечётных чисел среди них. Как мы установили, все 125 чисел будут нечётными, так как их последняя цифра всегда будет нечётной. Таким образом, $m = 125$.

Вероятность равна:$P = \frac{m}{n} = \frac{125}{125} = 1$

Ответ: 1

630. Какова вероятность того, что, переставив буквы в слове «алгебра», мы получим слово «геометрия»?

Для нахождения вероятности события необходимо разделить количество благоприятных исходов на общее количество всех возможных исходов. Формула вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае событие, вероятность которого нужно найти, — это получение слова «геометрия» путем перестановки букв слова «алгебра».

Чтобы одно слово можно было получить из другого путем перестановки букв, они должны состоять из одного и того же набора букв (мультимножества). Проанализируем буквы в каждом слове:
Слово «алгебра» состоит из 7 букв: {а, л, г, е, б, р, а}.
Слово «геометрия» состоит из 9 букв: {г, е, о, м, е, т, р, и, я}.

Сравнивая наборы букв, мы видим, что они не совпадают ни по количеству (7 букв в слове «алгебра» и 9 в слове «геометрия»), ни по составу. Например, в слове «геометрия» есть буквы 'о', 'м', 'т', 'и', 'я', которых нет в слове «алгебра».

Это означает, что невозможно составить слово «геометрия» из букв слова «алгебра». Такое событие является невозможным.

Число благоприятных исходов для невозможного события всегда равно нулю, то есть $m = 0$.

Вероятность невозможного события всегда равна нулю.$P = \frac{0}{n} = 0$.

Ответ: 0

631. Приведите примеры событий с равновозможными результатами.

События с равновозможными результатами (или исходами) — это такие события, в которых все возможные исходы случайного эксперимента имеют одинаковую вероятность наступления. Это означает, что нет никаких оснований предполагать, что один из исходов более вероятен, чем другой. Такие ситуации часто моделируются с помощью «идеальных» объектов: симметричной монеты, правильного игрального кубика и т.д. Вероятность любого из $n$ равновозможных исходов равна $\frac{1}{n}$.

Вот несколько примеров:

1. Подбрасывание симметричной монеты

При подбрасывании идеальной, симметричной монеты, которая не имеет дефектов, существует два возможных исхода: выпадение «орла» или выпадение «решки». Поскольку монета симметрична, нет никаких причин считать, что одна сторона будет выпадать чаще другой.
- Всего исходов: 2 («орел», «решка»).
- Исходы равновозможны.
- Вероятность выпадения «орла»: $P(\text{орел}) = \frac{1}{2}$.
- Вероятность выпадения «решки»: $P(\text{решка}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: При подбрасывании симметричной монеты исходы «орел» и «решка» являются равновозможными.

2. Бросок стандартного игрального кубика

При броске стандартного шестигранного игрального кубика (кости) с числами от 1 до 6 на гранях, возможны шесть исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Если кубик «правильный» (т.е. однородный, с центром тяжести в геометрическом центре), то каждая грань имеет одинаковые шансы оказаться наверху.
- Всего исходов: 6 (выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6).
- Исходы равновозможны.
- Вероятность выпадения любого конкретного числа очков, например 4, равна $P(4) = \frac{1}{6}$.
Ответ: При броске правильного игрального кубика выпадение любого числа очков от 1 до 6 является равновозможным исходом.

3. Вытягивание карты из колоды

Если из хорошо перемешанной стандартной колоды в 52 карты наугад вытягивается одна карта, то существует 52 возможных исхода. Каждый из этих исходов — это конкретная карта (например, «Туз пик», «Дама червей» и т.д.). Поскольку колода хорошо перемешана, у каждой карты одинаковый шанс быть вытянутой.
- Всего исходов: 52 (каждая карта в колоде).
- Исходы равновозможны.
- Вероятность вытянуть любую конкретную карту, например, Короля бубен, равна $P(\text{Король бубен}) = \frac{1}{52}$.
Ответ: Вытягивание любой из 52 карт из хорошо перемешанной колоды — это события с равновозможными результатами.

4. Розыгрыш в лотерее

Рассмотрим лотерею, в которой продано 1000 билетов, и разыгрывается один приз. Каждый билет имеет уникальный номер. Если победитель определяется случайным образом (например, вытягиванием одного номера из барабана), то каждый билет имеет одинаковый шанс на выигрыш.
- Всего исходов: 1000 (по количеству билетов).
- Исходы (выигрыш конкретного билета) равновозможны.
- Вероятность выигрыша для любого конкретного билета равна $P(\text{выигрыш}) = \frac{1}{1000}$.
Ответ: В лотерее с одним призом, где победитель выбирается случайным образом, выигрыш любого конкретного билета является равновозможным исходом.

5. Выбор шара из урны

Представим урну, в которой находятся шары, одинаковые по размеру, весу и на ощупь, но разного цвета, например, 3 красных и 7 синих. Эксперимент заключается в случайном извлечении одного шара. Хотя события «вытащить красный шар» и «вытащить синий шар» не равновозможны ($P(\text{красный}) = \frac{3}{10}$, а $P(\text{синий}) = \frac{7}{10}$), исходы, связанные с извлечением конкретного шара, являются равновозможными. Если мы мысленно пронумеруем шары (К1, К2, К3, С1, ..., С7), то вытащить любой из этих 10 шаров — это равновозможные исходы.
- Всего исходов: 10 (по количеству шаров).
- Исходы (вытягивание конкретного шара, например, К1) равновозможны.
- Вероятность вытянуть любой конкретный шар равна $P(\text{конкретный шар}) = \frac{1}{10}$.
Ответ: При извлечении одного шара из урны, содержащей одинаковые на ощупь шары, исходы, соответствующие извлечению каждого конкретного шара, являются равновозможными.

632. Приведите примеры событий с неравновозможными результатами.

События с неравновозможными результатами (или исходами) — это такие случайные эксперименты, в которых вероятность наступления одного исхода не равна вероятности наступления другого. В отличие от броска идеальной монеты, где шансы выпадения орла и решки одинаковы ($1/2$), в таких событиях существует дисбаланс вероятностей. Вот несколько примеров.

Пример 1. Вытаскивание шара из урны

Представим себе урну, в которой находятся 10 шаров: 3 красных и 7 синих. Мы случайным образом вытаскиваем один шар. В этом эксперименте возможны два основных исхода: «вытащили красный шар» и «вытащили синий шар».

Общее число шаров в урне равно $3 + 7 = 10$.
Вероятность вытащить красный шар равна отношению числа красных шаров к общему числу шаров: $P(красный) = \frac{3}{10}$.
Вероятность вытащить синий шар, соответственно, равна: $P(синий) = \frac{7}{10}$.

Поскольку $P(красный) \neq P(синий)$ ($ \frac{3}{10} \neq \frac{7}{10} $), исходы этого события являются неравновозможными.

Ответ: Вытаскивание шара из урны, содержащей 3 красных и 7 синих шаров. Вероятность вытащить синий шар ($7/10$) выше, чем вероятность вытащить красный шар ($3/10$).

Пример 2. Бросок канцелярской кнопки

Рассмотрим бросок обычной канцелярской кнопки. У этого эксперимента есть два возможных исхода: кнопка упадет острием вверх или кнопка упадет на шляпку (острием вниз).

Из-за асимметричной формы и неравномерного распределения массы центр тяжести кнопки смещен. Это приводит к тому, что вероятности этих двух исходов не одинаковы. Как правило, кнопка значительно чаще падает на шляпку, так как это положение более устойчиво. Таким образом, если обозначить вероятности исходов как $P(острием\_вверх)$ и $P(острием\_вниз)$, то почти наверняка $P(острием\_вверх) \neq P(острием\_вниз)$.

Ответ: Бросок канцелярской кнопки. Из-за ее несимметричной формы она с разной вероятностью падает острием вверх и острием вниз.

Пример 3. Результат футбольного матча

Рассмотрим футбольный матч между двумя командами разного класса, например, чемпионом страны (Команда А) и командой из низшего дивизиона (Команда Б). У этого события есть три возможных исхода: победа Команды А, победа Команды Б или ничья.

Исходя из опыта и статистики, вероятность победы более сильной Команды А значительно выше, чем вероятность победы Команды Б. Вероятность ничьей также будет отличаться от вероятностей побед. То есть, $P(победа\_А) > P(ничья)$ и $P(победа\_А) > P(победа\_Б)$. Вероятности всех трех исходов не равны между собой.

Ответ: Исход футбольного матча между сильной и слабой командами. Вероятности победы одной команды, победы другой команды и ничьей различны.

Пример 4. Несимметричный игральный кубик

Представим себе игральный кубик, у которого смещен центр тяжести (такой кубик называют нечестным или шулерским). При его броске возможны шесть исходов: выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

В отличие от стандартного (симметричного) кубика, где вероятность выпадения каждой грани равна $1/6$, у несимметричного кубика вероятности выпадения разных граней будут различаться. Например, если кубик утяжелен со стороны грани «1», то противоположная ей грань «6» будет выпадать чаще остальных. В этом случае $P(6) > P(1)$, и в общем случае $P(i) \neq P(j)$ для разных чисел $i$ и $j$.

Ответ: Бросок игрального кубика со смещенным центром тяжести. Вероятности выпадения разных граней у такого кубика не одинаковы.

633. Равновероятны ли события $A$ и $B$:

1) событие $A$: из 15 бильярдных шаров с номерами от 1 до 15 взять наугад шар с номером 1;

событие $B$: из 15 бильярдных шаров с номерами от 1 до 15 взять наугад шар с номером 7;

2) событие $A$: из 15 бильярдных шаров с номерами от 1 до 15 взять наугад шар с чётным номером;

событие $B$: из 15 бильярдных шаров с номерами от 1 до 15 взять наугад шар с нечётным номером?

1) Два события называются равновероятными, если их вероятности равны. Для определения, являются ли события A и B равновероятными, найдем вероятность каждого из них.

В эксперименте используется 15 бильярдных шаров, пронумерованных от 1 до 15. Общее число возможных исходов (вытащить любой из шаров) равно $n=15$.

Событие A заключается в том, чтобы взять наугад шар с номером 1. В наборе есть только один такой шар. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m_A = 1$.

Вероятность события A вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{1}{15}$.

Событие B заключается в том, чтобы взять наугад шар с номером 7. В наборе также есть только один шар с таким номером. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию B, равно $m_B = 1$.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{1}{15}$.

Поскольку $P(A) = P(B) = \frac{1}{15}$, события A и B являются равновероятными.

Ответ: да, события равновероятны.

2) Аналогично первому пункту, найдем вероятности событий A и B. Общее число исходов по-прежнему равно $n=15$.

Событие A заключается в том, чтобы взять наугад шар с чётным номером. Посчитаем количество шаров с четными номерами от 1 до 15: это шары с номерами 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. Всего 7 таких шаров. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m_A = 7$.

Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{7}{15}$.

Событие B заключается в том, чтобы взять наугад шар с нечётным номером. Посчитаем количество шаров с нечетными номерами от 1 до 15: это шары с номерами 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Всего 8 таких шаров. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию B, равно $m_B = 8$.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{8}{15}$.

Сравнивая вероятности, видим, что $P(A) = \frac{7}{15}$ и $P(B) = \frac{8}{15}$. Так как $\frac{7}{15} \neq \frac{8}{15}$, события A и B не являются равновероятными.

Ответ: нет, события не равновероятны.

634. Какова вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет количество очков, равное:

1) одному;

2) трём;

3) чётному числу;

4) числу, кратному 5;

5) числу, которое не делится нацело на 3;

6) числу, кратному 7?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех возможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$. При бросании стандартного шестигранного игрального кубика общее число равновозможных исходов $n=6$, так как на его гранях могут выпасть числа {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

1) одному;
Событие A: выпало 1 очко. Этому событию благоприятствует только один исход (выпадение грани с числом 1). Следовательно, число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность этого события: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) трём;
Событие B: выпало 3 очка. Этому событию также благоприятствует один исход (выпадение грани с числом 3). Число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность этого события: $P(B) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

3) чётному числу;
Событие C: выпало чётное число очков. Благоприятными исходами являются выпадения чисел 2, 4, 6. Число благоприятных исходов $m=3$. Вероятность этого события: $P(C) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) числу, кратному 5;
Событие D: выпало число очков, кратное 5. Среди чисел от 1 до 6 кратным 5 является только число 5. Число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность этого события: $P(D) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

5) числу, которое не делится нацело на 3;
Событие E: выпало число очков, которое не делится на 3. Среди чисел от 1 до 6 на 3 делятся 3 и 6. Следовательно, не делятся на 3 числа 1, 2, 4, 5. Число благоприятных исходов $m=4$. Вероятность этого события: $P(E) = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

6) числу, кратному 7?
Событие F: выпало число очков, кратное 7. Среди чисел от 1 до 6 нет ни одного числа, кратного 7. Число благоприятных исходов $m=0$. Такое событие является невозможным. Вероятность этого события: $P(F) = \frac{m}{n} = \frac{0}{6} = 0$.
Ответ: 0.

635. Представь себе, что в классе, в котором ты учишься, разыгрывается одна бесплатная туристическая путёвка в Лондон. Какова вероятность того, что в Лондон поедешь ты?

Для решения этой задачи необходимо использовать классическое определение вероятности. Вероятность события — это отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Вероятность $P$ вычисляется по формуле:

$P = m/n$

где $m$ – число благоприятных исходов, а $n$ – общее число всех возможных исходов.

В условиях нашей задачи:

1. Общее число возможных исходов ($n$). Розыгрыш проводится среди всех учеников класса. Каждый ученик имеет равные шансы на победу. Следовательно, общее число исходов равно количеству учеников в классе. Поскольку это число в задаче не указано, обозначим его переменной $N$. Таким образом, $n = N$.

2. Число благоприятных исходов ($m$). Благоприятный исход – это выигрыш поездки именно тобой. Так как «ты» – это один конкретный ученик, то существует только один такой исход. Следовательно, $m = 1$.

Теперь подставим наши значения в формулу вероятности:

$P = m/n = 1/N$

Таким образом, вероятность того, что в Лондон поедешь именно ты, зависит от общего числа учеников в твоем классе. Например, если в классе 25 учеников, то вероятность будет $1/25$. Если 30 учеников, то $1/30$.

Ответ: Вероятность равна $1/N$, где $N$ – это общее количество учеников в классе.

636. Чтобы сдать зачёт по математике, надо выучить 35 билетов. Студент выучил безупречно 30 билетов. Какова вероятность того, что, отвечая на один наугад вытянутый билет, он получит оценку 5 баллов?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $M$ к общему числу всех равновозможных исходов $N$.

Формула для расчёта вероятности:

$P = \frac{M}{N}$

В данном случае, общее число всех равновозможных исходов $N$ равно общему количеству билетов. По условию, всего 35 билетов, значит, $N = 35$.

Благоприятным исходом считается вытягивание билета, который студент выучил безупречно, так как это гарантирует ему оценку в 5 баллов. Число таких билетов $M$ равно 30. Итак, $M = 30$.

Теперь подставим найденные значения в формулу вероятности:

$P = \frac{30}{35}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 30 и 35 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$P = \frac{30 \div 5}{35 \div 5} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

637. Чтобы сдать зачёт по математике, надо выучить 30 билетов. Студент не выучил только один билет. Какова вероятность того, что он не сдаст зачёт, отвечая на один билет?

Для нахождения вероятности воспользуемся классическим определением. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$: $P = \frac{m}{n}$

Событие, вероятность которого нужно найти, — «студент не сдаст зачёт». Это произойдет, если он вытянет билет, который не выучил.

Общее число всех равновозможных исходов $n$ равно общему количеству билетов. По условию задачи, всего 30 билетов, следовательно, $n = 30$.

Число благоприятных исходов $m$ — это количество невыученных билетов. По условию, студент не выучил только один билет, значит, $m = 1$.

Теперь можем рассчитать вероятность того, что студент не сдаст зачёт, подставив значения в формулу:

$P = \frac{1}{30}$

Ответ: $\frac{1}{30}$

638. Какова вероятность того, что имя ученицы вашего класса, которую вызовут к доске на уроке алгебры, — Екатерина?

Для ответа на этот вопрос необходимо знать точные данные о составе вашего класса, а именно общее количество учеников и количество учениц с именем Екатерина. Так как эти данные неизвестны, мы предоставим общее решение, которое вы сможете использовать, подставив свои числа.

Формулировка вопроса "Какова вероятность того, что имя ученицы вашего класса, которую вызовут к доске..." может допускать две основные трактовки, которые приводят к разным ответам.

Интерпретация 1: Учитель случайным образом вызывает одного ученика из всего класса.

Это наиболее стандартная трактовка для задач по теории вероятностей. В этом случае мы ищем вероятность того, что случайно выбранный ученик окажется девочкой по имени Екатерина. Событие A — "вызвали ученицу по имени Екатерина".

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

• Общее число исходов ($n$): это общее количество всех учеников в классе (и мальчиков, и девочек), так как любой может быть вызван к доске.
• Число благоприятных исходов ($m$): это количество учениц в классе с именем Екатерина.

Пример: Если в классе 25 учеников, среди которых есть 2 ученицы по имени Екатерина, то вероятность будет:

$P(A) = \frac{2}{25} = 0.08$

Ответ: Вероятность равна $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число учеников в классе, а $m$ — число учениц по имени Екатерина.

Интерпретация 2: Учитель заранее решил вызвать к доске именно девочку и случайным образом выбирает одну из них.

В этом случае пространство элементарных исходов (то есть те, из кого выбирают) сужается до всех учениц класса. Событие A — "выбранная ученица оказалась Екатериной".

• Общее число исходов ($n$): в данной интерпретации это общее количество всех учениц в классе. Обозначим его $k$.
• Число благоприятных исходов ($m$): это по-прежнему количество учениц в классе с именем Екатерина.

Пример: Если в классе 25 учеников, из них 15 — девочки, и среди этих девочек есть 2 ученицы с именем Екатерина, то вероятность будет:

$P(A) = \frac{2}{15} \approx 0.133$

Ответ: Вероятность равна $P = \frac{m}{k}$, где $k$ — общее число учениц в классе, а $m$ — число учениц по имени Екатерина.

Обычно, если в условии задачи нет специальных оговорок (например, "учитель вызывает к доске ученицу"), предполагается первая интерпретация, так как выборка производится из всей генеральной совокупности (всех учеников класса).

639. В классе учится 12 девочек и 17 мальчиков. Все ученики имеют равные вероятности опоздать в школу. Один учащийся опоздал в школу. Какова вероятность того, что это:

1) был мальчик: $P = \frac{17}{29}$

2) была девочка? $P = \frac{12}{29}$

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных элементарных исходов $n$. Формула имеет вид: $P = \frac{m}{n}$.

В данном случае событие — это опоздание одного ученика. Так как все ученики имеют равные вероятности опоздать, каждый ученик представляет собой один равновозможный исход.

Сначала найдем общее число учеников в классе, что будет соответствовать общему числу исходов $n$.

Количество девочек: 12.

Количество мальчиков: 17.

Общее число учеников в классе: $n = 12 + 17 = 29$.

1) был мальчик;

Нам нужно найти вероятность того, что опоздавший ученик — это мальчик. Число благоприятных исходов $m$ в этом случае равно количеству мальчиков в классе.

Число благоприятных исходов (мальчиков): $m = 17$.

Общее число исходов (всех учеников): $n = 29$.

Вероятность того, что опоздавший ученик — мальчик, рассчитывается по формуле:

$P(\text{мальчик}) = \frac{m}{n} = \frac{17}{29}$.

Ответ: $\frac{17}{29}$

2) была девочка?

Теперь найдем вероятность того, что опоздавший ученик — это девочка. Число благоприятных исходов $m$ в этом случае равно количеству девочек в классе.

Число благоприятных исходов (девочек): $m = 12$.

Общее число исходов (всех учеников): $n = 29$.

Вероятность того, что опоздавший ученик — девочка, рассчитывается по формуле:

$P(\text{девочка}) = \frac{m}{n} = \frac{12}{29}$.

Ответ: $\frac{12}{29}$

640. В лотерее 20 выигрышных билетов и 280 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть, купив один билет?

Для того чтобы найти вероятность выигрыша, необходимо определить отношение количества выигрышных билетов к общему количеству всех билетов в лотерее. Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле:

$P = \frac{m}{n}$, где $m$ – число благоприятных исходов (в нашем случае – количество выигрышных билетов), а $n$ – общее число всех возможных исходов (общее количество билетов).

1. Найдем общее количество билетов в лотерее. Для этого сложим количество выигрышных билетов и билетов без выигрыша:

$n = 20 + 280 = 300$

Таким образом, общее количество билетов равно 300.

2. Количество выигрышных билетов (благоприятных исходов) нам известно из условия:

$m = 20$

3. Теперь можем рассчитать вероятность выигрыша, подставив найденные значения в формулу:

$P(\text{выигрыш}) = \frac{20}{300}$

4. Сократим полученную дробь:

$\frac{20}{300} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Следовательно, вероятность выиграть, купив один билет, составляет $\frac{1}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$