Страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

609. Эксперимент состоит в бросании двух монет. Проведите этот эксперимент: 1) 10 раз; 2) 20 раз; 3) 50 раз; 4) 150 раз. Результаты, полученные в каждой из четырёх серий экспериментов, занесите в таблицу.

В каждой из четырёх серий экспериментов подсчитайте частоту случайного события:

1) выпадение двух гербов;

2) выпадение только одного герба;

3) выпадение двух чисел.

Можно ли на основании этих наблюдений предположить, что событие «выпал ровно один герб» более вероятно, чем событие «не выпало ни одного герба»? На чём основано такое предположение? Можно ли на основании этих наблюдений гарантировать, что первое из названных событий более вероятно, чем второе?

Рис. 90

Поскольку провести физический эксперимент невозможно, мы смоделируем его результаты, основываясь на теоретической вероятности. При броске двух монет есть 4 равновероятных исхода: Герб-Герб (ГГ), Герб-Решка (ГР), Решка-Герб (РГ), Решка-Решка (РР).

• Вероятность выпадения двух гербов (ГГ) равна $1/4 = 0.25$.
• Вероятность выпадения ровно одного герба (ГР или РГ) равна $1/4 + 1/4 = 2/4 = 0.5$.
• Вероятность невыпадения ни одного герба (РР) равна $1/4 = 0.25$.

Ожидаемое количество каждого исхода в серии экспериментов равно произведению общего числа экспериментов на вероятность этого исхода. Результаты, округленные до целых чисел, занесем в таблицу.

Теперь рассчитаем частоту каждого случайного события для каждой из серий. Частота события вычисляется по формуле: $W(A) = m/n$, где $m$ - число наступлений события, $n$ - общее число экспериментов.

Серия 1 (10 бросков)

1) выпадение двух гербов;
Частота = $3/10 = 0.3$.
Ответ: 0.3

2) выпадение только одного герба;
Частота = $5/10 = 0.5$.
Ответ: 0.5

3) выпадение двух чисел.
Это событие эквивалентно событию "не выпало ни одного герба".
Частота = $2/10 = 0.2$.
Ответ: 0.2

Серия 2 (20 бросков)

1) выпадение двух гербов;
Частота = $5/20 = 0.25$.
Ответ: 0.25

2) выпадение только одного герба;
Частота = $10/20 = 0.5$.
Ответ: 0.5

3) выпадение двух чисел.
Частота = $5/20 = 0.25$.
Ответ: 0.25

Серия 3 (50 бросков)

1) выпадение двух гербов;
Частота = $13/50 = 0.26$.
Ответ: 0.26

2) выпадение только одного герба;
Частота = $25/50 = 0.5$.
Ответ: 0.5

3) выпадение двух чисел.
Частота = $12/50 = 0.24$.
Ответ: 0.24

Серия 4 (150 бросков)

1) выпадение двух гербов;
Частота = $38/150 \approx 0.253$.
Ответ: $\approx 0.253$

2) выпадение только одного герба;
Частота = $75/150 = 0.5$.
Ответ: 0.5

3) выпадение двух чисел.
Частота = $37/150 \approx 0.247$.
Ответ: $\approx 0.247$

Можно ли на основании этих наблюдений предположить, что событие «выпал ровно один герб» более вероятно, чем событие «не выпало ни одного герба»? На чём основано такое предположение?

Да, можно. Во всех четырех сериях экспериментов частота события «выпал ровно один герб» (равная 0.5) была значительно выше частоты события «не выпало ни одного герба» (которая колебалась около 0.25). Такое предположение основано на статистической устойчивости: при увеличении числа испытаний относительная частота события приближается к его теоретической вероятности. Поскольку частота первого события стабильно вдвое выше частоты второго, можно предположить, что и его вероятность выше.
Ответ: Да, можно. Предположение основано на том, что относительная частота события «выпал ровно один герб» во всех сериях была стабильно выше (около 0.5), чем частота события «не выпало ни одного герба» (около 0.25).

Можно ли на основании этих наблюдений гарантировать, что первое из названных событий более вероятно, чем второе?

Нет, на основании одних лишь наблюдений (эксперимента) гарантировать это нельзя. Экспериментальные данные, особенно при малом числе опытов, подвержены случайным отклонениям. Теоретически возможна ситуация, когда в конкретной серии экспериментов событие «не выпало ни одного герба» произойдет чаще. Гарантию дает только теоретический расчет вероятностей. Он показывает, что вероятность выпадения одного герба ($P_1 = 0.5$) действительно больше вероятности невыпадения ни одного герба ($P_2 = 0.25$). Эксперимент лишь подтверждает эту теоретическую закономерность, но не является строгим математическим доказательством.
Ответ: Нет, гарантировать нельзя, так как любой эксперимент подвержен случайности. Гарантию дает только теоретический расчет вероятностей.

вать, что первое из названных событий более вероятно, чем второе?

Рис. 90

610. Проведите серию, состоящую из 100 экспери-ментов, в которых подбрасывают пуговицу с пет-лёй (рис. 90). Найдите частоту события «пугови-ца упадёт петлёй вниз». Оцените вероятность события «пуговица упадёт петлёй вверх» в про-ведённой серии экспериментов.

Поскольку данная задача требует проведения физического эксперимента, а я, как искусственный интеллект, не могу его провести, решение будет основано на гипотетических, но реалистичных данных. Пуговица с петлёй, как правило, имеет смещённый центр тяжести в сторону петли, из-за чего она с большей вероятностью будет падать на плоскую сторону (петлёй вниз).

Проведём мысленно серию из $n=100$ экспериментов по подбрасыванию пуговицы.

Найдите частоту события «пуговица упадёт петлёй вниз»

Допустим, в результате 100 подбрасываний пуговица упала петлёй вниз $m_{вниз} = 62$ раза. Частота события вычисляется как отношение числа наступлений этого события к общему числу проведённых экспериментов по формуле:

$f = \frac{m}{n}$

где $m$ — число наступлений события, а $n$ — общее число экспериментов. Подставим наши гипотетические данные:

$f_{вниз} = \frac{m_{вниз}}{n} = \frac{62}{100} = 0,62$

Ответ: 0,62.

Оцените вероятность события «пуговица упадёт петлёй вверх» в проведённой серии экспериментов

События «пуговица упадёт петлёй вниз» и «пуговица упадёт петлёй вверх» являются единственно возможными и несовместными (предполагаем, что падение на ребро невозможно). Следовательно, количество раз, когда пуговица упала петлёй вверх, можно найти, вычтя из общего числа экспериментов количество падений петлёй вниз:

$m_{вверх} = n - m_{вниз} = 100 - 62 = 38$

Вероятность события в данной серии экспериментов оценивается его относительной частотой. Найдём частоту для события «пуговица упадёт петлёй вверх»:

$P(\text{вверх}) \approx f_{вверх} = \frac{m_{вверх}}{n} = \frac{38}{100} = 0,38$

Эту же величину можно было найти, зная, что сумма частот противоположных событий равна 1:

$f_{вверх} = 1 - f_{вниз} = 1 - 0,62 = 0,38$

Ответ: 0,38.