Страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

579. В корзине лежат 10 яблок и 7 груш. Антон выбирает яблоко или грушу. После этого Максим выбирает яблоко и грушу. В каком случае у Максима больше возможностей для выбора: когда Антон взял яблоко или когда Антон взял грушу?

Чтобы определить, в каком случае у Максима больше возможностей для выбора, нам нужно рассчитать количество способов, которыми он может выбрать одно яблоко и одну грушу в каждой из двух ситуаций. Количество способов сделать такой выбор равно произведению числа доступных яблок на число доступных груш (согласно правилу произведения в комбинаторике).

Когда Антон взял яблоко

Изначально в корзине было 10 яблок и 7 груш. Если Антон взял яблоко, то в корзине осталось $10 - 1 = 9$ яблок и 7 груш.Теперь у Максима есть 9 вариантов выбора яблока и 7 вариантов выбора груши.Общее количество возможностей для Максима в этом случае составляет:$9 \times 7 = 63$.

Когда Антон взял грушу

Если Антон взял грушу, то в корзине осталось 10 яблок и $7 - 1 = 6$ груш.Теперь у Максима есть 10 вариантов выбора яблока и 6 вариантов выбора груши.Общее количество возможностей для Максима в этом случае составляет:$10 \times 6 = 60$.

Сравнивая результаты двух случаев, мы видим, что $63 > 60$.Следовательно, у Максима больше возможностей для выбора, когда Антон взял яблоко.

Ответ: у Максима больше возможностей для выбора, когда Антон взял яблоко.

Рис. 88

580. На рисунке 88 показана схема дорог, ведущих из города $A$ в город $B$. Сколькими способами можно проехать из города $A$ в город $B$?

579.

Для того чтобы определить, в каком случае у Максима будет больше возможностей для выбора, нам необходимо рассмотреть две возможные ситуации и вычислить количество комбинаций для каждой из них.

Ситуация 1: Антон взял яблоко.
Изначально в корзине было 10 яблок и 7 груш. После того как Антон взял одно яблоко, в корзине осталось $10 - 1 = 9$ яблок и 7 груш. Максиму нужно выбрать одно яблоко и одну грушу. Количество способов выбрать яблоко теперь равно 9, а количество способов выбрать грушу — 7. По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможностей для выбора Максима составляет: $N_1 = 9 \times 7 = 63$

Ситуация 2: Антон взял грушу.
Если Антон взял одну грушу, то в корзине останется 10 яблок и $7 - 1 = 6$ груш. Теперь количество способов для Максима выбрать яблоко равно 10, а количество способов выбрать грушу — 6. Общее количество возможностей для выбора Максима в этом случае составляет: $N_2 = 10 \times 6 = 60$

Сравнивая количество возможностей в обеих ситуациях ($N_1$ и $N_2$), мы видим, что $63 > 60$. Следовательно, у Максима больше возможностей для выбора, когда Антон взял яблоко.

Ответ: у Максима больше возможностей для выбора, когда Антон взял яблоко.

580.

Чтобы найти общее количество способов проехать из города А в город В, нужно рассмотреть все возможные маршруты. Согласно схеме, из города А в В можно попасть либо через город М, либо через город N. Так как эти два маршрута являются взаимоисключающими, общее количество способов будет равно сумме способов для каждого маршрута (согласно правилу сложения).

1. Маршрут через город М (А → М → В).
Из города А в город М ведут 3 дороги. Из города М в город В ведут 2 дороги. По правилу произведения, количество способов проехать из А в В через М равно произведению числа дорог на каждом участке: $N_M = 3 \times 2 = 6$ способов.

2. Маршрут через город N (А → N → В).
Из города А в город N ведут 4 дороги. Из города N в город В ведут 3 дороги. По правилу произведения, количество способов проехать из А в В через N равно: $N_N = 4 \times 3 = 12$ способов.

3. Общее количество способов.
Чтобы найти общее число способов добраться из А в В, сложим количество способов для маршрута через М и маршрута через N: $N_{общ} = N_M + N_N = 6 + 12 = 18$ способов.

Ответ: 18 способами.

581. Кафе предлагает в меню 3 различных салата, 6 различных мясных блюд и 5 различных десертов. Сколько существует способов выбрать ужин из двух блюд разного вида?

Для решения этой задачи необходимо найти общее число способов составить ужин из двух блюд, принадлежащих к разным категориям. В меню представлено три категории блюд: 3 различных салата, 6 различных мясных блюд и 5 различных десертов.

Ужин из двух блюд разного вида может состоять из одной из следующих трех взаимоисключающих комбинаций:
1. Салат и мясное блюдо.
2. Салат и десерт.
3. Мясное блюдо и десерт.

Для подсчета количества вариантов для каждой комбинации используется комбинаторное правило произведения, а для нахождения итогового результата — правило суммы.

Количество способов выбрать салат и мясное блюдо
Для выбора салата есть 3 варианта, а для выбора мясного блюда — 6 вариантов. Количество способов составить такую пару равно произведению числа вариантов:
$N_1 = 3 \times 6 = 18$ способов.

Количество способов выбрать салат и десерт
Для выбора салата есть 3 варианта, а для выбора десерта — 5 вариантов. Количество способов составить такую пару:
$N_2 = 3 \times 5 = 15$ способов.

Количество способов выбрать мясное блюдо и десерт
Для выбора мясного блюда есть 6 вариантов, а для выбора десерта — 5 вариантов. Количество способов составить такую пару:
$N_3 = 6 \times 5 = 30$ способов.

Общее количество способов
Чтобы найти общее количество способов выбрать ужин, нужно сложить количество способов для каждой из трех возможных пар, так как эти варианты выбора не пересекаются:
$N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3 = 18 + 15 + 30 = 63$ способа.

Ответ: 63

582. На вершину горы ведёт 5 маршрутов. Сколькими способами альпинист может подняться на гору и спуститься с неё? Ответьте на этот вопрос также при условии, что подъём и спуск должны проходить по разным маршрутам.

Сколькими способами альпинист может подняться на гору и спуститься с неё?

Эта задача решается с помощью правила произведения в комбинаторике. Весь путь альпиниста состоит из двух независимых друг от друга действий: подъёма и спуска.

1. Выбор маршрута для подъёма. Согласно условию, на вершину горы ведёт 5 маршрутов. Следовательно, у альпиниста есть 5 способов для подъёма.

2. Выбор маршрута для спуска. Так как в данном случае нет никаких ограничений, для спуска альпинист также может выбрать любой из 5 маршрутов.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов для каждого действия: $N = 5 \times 5 = 25$

Ответ: 25 способами.

При условии, что подъём и спуск должны проходить по разным маршрутам

В этом случае выбор маршрута для спуска становится зависимым от выбора маршрута для подъёма.

1. Выбор маршрута для подъёма. Как и в предыдущем случае, у альпиниста есть 5 вариантов маршрута для подъёма.

2. Выбор маршрута для спуска. После того как один маршрут был использован для подъёма, его нельзя использовать для спуска. Таким образом, количество доступных маршрутов для спуска уменьшается на один: $5 - 1 = 4$ способа.

Общее количество способов снова находится по правилу произведения: $N = 5 \times 4 = 20$

Эту задачу можно также решить с помощью формулы для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$. В нашем случае мы выбираем и располагаем в определённом порядке (подъём, затем спуск) 2 маршрута из 5 имеющихся ($n=5, k=2$): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ $A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$

Ответ: 20 способами.

583. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если эти числа должны начинаться:

1) с цифры 1;

2) с записи «34»?

Мы составляем пятизначные числа из пяти различных цифр {1, 2, 3, 4, 5}. Это означает, что мы ищем количество перестановок из 5 элементов, которые удовлетворяют определенным условиям. Общее количество таких чисел без дополнительных условий равно числу перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 120$.

1) с цифры 1:
Если пятизначное число должно начинаться с цифры 1, то первая цифра фиксирована. Нам остается расставить оставшиеся 4 цифры {2, 3, 4, 5} на оставшихся 4 позициях. Количество способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов.
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$
Таким образом, можно составить 24 таких числа.
Ответ: 24

2) с записи «34»:
Если пятизначное число должно начинаться с записи «34», то первые две цифры фиксированы: первая — 3, вторая — 4. Нам остается расставить оставшиеся 3 цифры {1, 2, 5} на оставшихся 3 позициях (третьей, четвертой и пятой). Количество способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов.
$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$
Таким образом, можно составить 6 таких чисел.
Ответ: 6

584. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько различных комбинаций можно составить из заданного набора цифр. Нам даны 6 цифр: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, из которых нужно составить четырёхзначные числа. Поскольку в условии не указано, могут ли цифры в числе повторяться, рассмотрим оба возможных сценария.

1. Если цифры в числе могут повторяться

В этом случае для каждой из четырёх позиций в четырёхзначном числе (разряд тысяч, сотен, десятков и единиц) мы можем выбрать любую из шести доступных цифр.
- Для первой цифры (тысяч) существует 6 вариантов.
- Для второй цифры (сотен) также существует 6 вариантов, так как повторения разрешены.
- Для третьей цифры (десятков) — 6 вариантов.
- Для четвертой цифры (единиц) — 6 вариантов.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел находится перемножением количества вариантов для каждой позиции. Такие комбинации называются размещениями с повторениями, и их число вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n$ — количество элементов, из которых мы выбираем (у нас $n=6$), а $k$ — количество позиций, которые мы заполняем (у нас $k=4$).

Таким образом, количество чисел равно: $6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$.

Ответ: можно записать 1296 четырёхзначных чисел.

2. Если все цифры в числе должны быть различны

В этом случае выбранная цифра не может быть использована повторно.
- Для первой цифры (тысяч) есть 6 вариантов выбора.
- После того как первая цифра выбрана, для второй цифры (сотен) остаётся 5 вариантов.
- Для третьей цифры (десятков) остаётся 4 неиспользованных варианта.
- Наконец, для четвертой цифры (единиц) остаётся 3 варианта.

Общее количество чисел находим, перемножая количество доступных вариантов для каждой позиции. Это классический пример размещений без повторений. Формула для их подсчета: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Количество чисел равно: $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.

Проверим по формуле: $A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.

Ответ: можно записать 360 четырёхзначных чисел.

Примечание: Как правило, в задачах такого типа, если не оговорено иное, предполагается, что цифры могут повторяться. Следовательно, наиболее вероятным ответом на задачу является 1296.

585. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько вариантов выбора есть для каждой из трех цифр (сотен, десятков и единиц) искомых чисел.

Сначала выпишем все нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Всего их 5.

Трехзначное число состоит из трех позиций. По условию, на каждой из этих позиций должна стоять нечетная цифра.

1. На позицию сотен мы можем поставить любую из 5 нечетных цифр. Таким образом, у нас есть 5 вариантов для первой цифры.

2. На позицию десятков мы также можем поставить любую из 5 нечетных цифр, так как в условии задачи не сказано, что цифры не могут повторяться. Это дает нам еще 5 вариантов для второй цифры.

3. Аналогично, на позицию единиц мы можем поставить любую из 5 нечетных цифр. Это 5 вариантов для третьей цифры.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило умножения:

Количество чисел = (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц)

Выполним вычисление:

$5 \times 5 \times 5 = 125$

Следовательно, существует 125 трехзначных чисел, все цифры которых являются нечетными.

Ответ: 125

586. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Для того чтобы найти, сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, необходимо определить количество возможных вариантов для каждой из четырёх позиций (разрядов) в числе.

Четырёхзначное число состоит из разряда тысяч, сотен, десятков и единиц.

На позицию первой цифры (разряд тысяч) нельзя поставить 0, иначе число не будет считаться четырёхзначным. Следовательно, для первой цифры существует 5 возможных вариантов: 1, 2, 3, 4, 5.

В условии задачи не указано, что цифры не могут повторяться, поэтому для остальных разрядов можно использовать любую из шести предложенных цифр.

Для второй цифры (разряд сотен) существует 6 вариантов: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Для третьей цифры (разряд десятков) также существует 6 вариантов.

Для четвертой цифры (разряд единиц) также существует 6 вариантов.

Чтобы найти общее количество возможных четырёхзначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения:

$5 \times 6 \times 6 \times 6 = 5 \times 6^3 = 5 \times 216 = 1080$

Следовательно, с помощью данных цифр можно записать 1080 четырёхзначных чисел.

Ответ: 1080.

587. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых чётные?

Чтобы найти количество трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные, необходимо последовательно определить количество возможных вариантов для каждой из трёх позиций в числе: сотен, десятков и единиц.

Сначала определим, какие цифры являются чётными. Это цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Всего у нас 5 чётных цифр.

Рассмотрим каждую позицию в трёхзначном числе:

1. Первая цифра (разряд сотен): Трёхзначное число не может начинаться с нуля. Следовательно, на первое место мы можем поставить любую чётную цифру, кроме 0. У нас остаются варианты: 2, 4, 6, 8. Таким образом, для первой цифры существует 4 возможных варианта.

2. Вторая цифра (разряд десятков): На вторую позицию можно поставить любую из 5 чётных цифр, включая 0. Варианты: 0, 2, 4, 6, 8. Таким образом, для второй цифры существует 5 возможных вариантов.

3. Третья цифра (разряд единиц): Аналогично второй цифре, на третью позицию можно поставить любую из 5 чётных цифр. Варианты: 0, 2, 4, 6, 8. Таким образом, для третьей цифры существует 5 возможных вариантов.

Для того чтобы найти общее количество всех возможных комбинаций, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения.
Число комбинаций = (количество вариантов для первой цифры) × (количество вариантов для второй цифры) × (количество вариантов для третьей цифры).
$4 \times 5 \times 5 = 100$

Следовательно, существует 100 трёхзначных чисел, у которых все цифры являются чётными.

Ответ: 100

588. Сколько существует семизначных телефонных номеров, которые не начинаются с цифры 0?

Семизначный телефонный номер представляет собой последовательность из семи цифр. На первой позиции может стоять любая из 9 цифр (от 1 до 9), так как по условию номер не может начинаться с нуля. На каждой из оставшихся шести позиций (со второй по седьмую) может стоять любая из 10 цифр (от 0 до 9). Чтобы найти общее количество возможных номеров, согласно комбинаторному правилу произведения, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции. Таким образом, общее количество семизначных телефонных номеров, не начинающихся с нуля, рассчитывается следующим образом: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^6 = 9 \, 000 \, 000$.
Ответ: 9 000 000

589. В школе 20 классов и 20 классных руководителей. Сколькими способами можно распределить классное руководство между учителями?

Данная задача заключается в нахождении количества способов, которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами, состоящими из 20 элементов каждое: множеством классов и множеством учителей. Это классическая задача на вычисление числа перестановок.

Представим процесс распределения пошагово:

Для первого класса мы можем выбрать любого из 20 учителей. Таким образом, у нас есть 20 вариантов.

После того как руководитель назначен первому классу, для второго класса остается 19 учителей на выбор. Это дает нам 19 вариантов.

Для третьего класса остается 18 учителей, то есть 18 вариантов.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последнего, двадцатого класса. Для него останется только один учитель, что означает 1 вариант выбора.

Чтобы найти общее количество способов распределения, необходимо перемножить количество вариантов на каждом шаге. Это произведение соответствует числу перестановок из 20 элементов.

Число перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле: $P_n = n!$ где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В нашем случае $n=20$, поэтому общее количество способов равно $20!$: $20! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 19 \times 20$

Вычислим значение факториала: $20! = 2 \, 432 \, 902 \, 008 \, 176 \, 640 \, 000$

Следовательно, существует огромное количество способов распределить 20 учителей по 20 классам.
Ответ: $2 \, 432 \, 902 \, 008 \, 176 \, 640 \, 000$ способов.

590. Монету подбрасывают 4 раза. Сколько различных последовательностей гербов и чисел можно получить?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения.

При каждом подбрасывании монеты существует два возможных исхода: может выпасть «герб» или «число» (решка).

Поскольку монету подбрасывают 4 раза, и результат каждого броска не зависит от предыдущих, мы можем рассмотреть количество вариантов для каждого шага:
- Для первого броска есть 2 возможных исхода.
- Для второго броска также 2 возможных исхода.
- Для третьего броска — снова 2 исхода.
- Для четвертого броска — 2 исхода.

Чтобы найти общее количество всех различных последовательностей, необходимо перемножить количество исходов для каждого из четырех бросков. Это соответствует нахождению числа размещений с повторениями.

Общее количество комбинаций вычисляется по формуле $N = n^k$, где $n$ — это количество возможных исходов для одного события (в нашем случае $n=2$), а $k$ — это количество событий (число бросков, $k=4$).

Следовательно, количество различных последовательностей равно:
$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$.

Ответ: 16.

591. Игральный кубик бросают 3 раза. Сколько различных последовательностей очков можно получить?

Для решения этой задачи воспользуемся основным правилом комбинаторики — правилом умножения. Нам нужно найти общее количество возможных последовательностей, которые могут получиться при троекратном броске игрального кубика.

Стандартный игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Это означает, что при каждом отдельном броске есть 6 возможных исходов.

Рассмотрим каждый бросок как независимое событие:

• При первом броске может выпасть одно из 6 чисел (1, 2, 3, 4, 5 или 6).
• При втором броске также может выпасть одно из 6 чисел, независимо от результата первого броска.
• Аналогично, при третьем броске существует 6 возможных исходов.

Чтобы найти общее количество всех возможных последовательностей, мы должны перемножить количество исходов для каждого из трех бросков.

Общее число последовательностей $N$ вычисляется по формуле:
$N = (\text{число исходов 1-го броска}) \times (\text{число исходов 2-го броска}) \times (\text{число исходов 3-го броска})$
$N = 6 \times 6 \times 6 = 6^3$

Вычислим результат:
$6^3 = 216$

Таким образом, существует 216 различных последовательностей очков, которые можно получить, бросив игральный кубик 3 раза. Например, (1, 1, 1), (1, 1, 2), (6, 5, 4) — это три из 216 возможных последовательностей.

Ответ: 216

592. Сколько трёхзначных чётных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Для того чтобы найти, сколько трёхзначных чётных чисел можно записать с помощью цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, необходимо последовательно определить количество возможных вариантов для каждой цифры в числе, начиная с самой значащей (сотни) и учитывая все ограничения.

Трёхзначное число состоит из трёх цифр: цифры сотен, цифры десятков и цифры единиц.

1. Выбор первой цифры (сотни):
Первая цифра трёхзначного числа не может быть 0. Следовательно, для первой позиции мы можем выбрать любую из следующих цифр: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Количество вариантов для первой цифры: 6.

2. Выбор третьей цифры (единицы):
Число должно быть чётным, а это значит, что его последняя цифра должна быть чётной. Из предложенного набора чётными являются цифры: {0, 2, 4, 6}.
Количество вариантов для третьей цифры: 4.

3. Выбор второй цифры (десятки):
Для второй цифры никаких ограничений нет. Она может быть любой из предложенных цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. В условии не сказано, что цифры не могут повторяться, поэтому мы можем использовать любую из семи цифр.
Количество вариантов для второй цифры: 7.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило умножения:

$N = (\text{число вариантов для сотен}) \times (\text{число вариантов для десятков}) \times (\text{число вариантов для единиц})$

$N = 6 \times 7 \times 4 = 168$

Таким образом, из данных цифр можно составить 168 различных трёхзначных чётных чисел.

Ответ: 168