Страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют абсолютной погрешностью?

1.

Абсолютной погрешностью (или абсолютной ошибкой) приближенного значения называют модуль разности между точным (истинным) значением некоторой величины и её приближенным значением. Абсолютная погрешность показывает, насколько велико отклонение приближенного значения от точного, и, поскольку это модуль, она всегда является неотрицательной величиной.

Если x — это точное значение величины, а a — её приближенное значение, то абсолютная погрешность, обозначаемая как $Δ$ (дельта), вычисляется по формуле:

$Δ = |x - a|$

Например, возьмём число $\pi$. Его точное значение является бесконечной непериодической десятичной дробью: $\pi \approx 3.14159265...$. Если мы используем его приближенное значение $a = 3.14$, то абсолютная погрешность этого приближения будет:

$Δ = |\pi - 3.14| = |3.14159265... - 3.14| = 0.00159265...$

В практических задачах (например, при измерениях) точное значение x часто неизвестно. В таких случаях используют понятие границы абсолютной погрешности — это любое число h, которое заведомо больше или равно абсолютной погрешности. То есть, выполняется неравенство:

$|x - a| \le h$

Это означает, что истинное значение x находится в интервале $[a - h, a + h]$. Результат измерения в таком случае принято записывать в виде $x = a \pm h$.

Ответ: Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным и приближенным значениями величины.

2. Что называют относительной погрешностью?

2. Относительная погрешность — это характеристика точности измерения, которая показывает, какую долю от измеряемой величины составляет абсолютная погрешность. Она позволяет объективно оценить качество измерения, поскольку ставит величину ошибки в контекст. В отличие от абсолютной погрешности, имеющей ту же размерность, что и измеряемая величина, относительная погрешность является безразмерной.

Относительную погрешность (часто обозначается греческой буквой эпсилон $\epsilon$ или символом $\delta_r$) вычисляют как отношение абсолютной погрешности $\Delta x$ к модулю самой измеряемой (или ее истинного) значения $x$.

Формула для расчета относительной погрешности:

$\epsilon = \frac{\Delta x}{|x|}$

где:
$\epsilon$ — относительная погрешность;
$\Delta x$ — абсолютная погрешность. Это модуль разности между истинным значением $x_{ист}$ и измеренным значением $x_{изм}$ ($\Delta x = |x_{ист} - x_{изм}|$). В практических задачах, если истинное значение неизвестно, за $\Delta x$ принимают максимально возможную ошибку (например, половину цены деления измерительного прибора);
$x$ — истинное или (если оно неизвестно) измеренное значение величины.

Относительную погрешность можно выражать в долях единицы (в виде десятичной дроби) или в процентах. Для перевода в проценты полученное значение необходимо умножить на 100%.

$\epsilon (\%) = \frac{\Delta x}{|x|} \cdot 100\%$

Пример:

Предположим, длина карандаша была измерена линейкой и составила $L = 15.0 \text{ см}$, а абсолютная погрешность измерения (цена деления линейки) составляет $\Delta L = 0.1 \text{ см}$. Результат измерения записывается как $L = 15.0 \pm 0.1 \text{ см}$.

Чтобы найти относительную погрешность, разделим абсолютную погрешность на измеренное значение:

$\epsilon = \frac{\Delta L}{|L|} = \frac{0.1 \text{ см}}{15.0 \text{ см}} \approx 0.0067$

Чтобы выразить эту величину в процентах, умножим результат на 100:

$\epsilon (\%) \approx 0.0067 \cdot 100\% = 0.67\%$

Таким образом, относительная погрешность измерения длины карандаша составляет примерно 0.67%. Это означает, что ошибка измерения составляет менее 1% от самой измеряемой длины, что указывает на достаточно высокую точность.

Ответ: Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности измерения к модулю измеряемой величины. Эта безразмерная величина, часто выражаемая в процентах, характеризует качество (точность) измерения.

555. Какие из следующих величин являются точными, а какие приближёнными:

1) объём воды в озере Байкал составляет 23 000 км$^{3}$;

2) в классе 32 ученика;

3) в Государственной Думе России 450 депутатов;

4) в самолёте Ил-96-400 436 посадочных мест;

5) урожай составил 36 ц с одного гектара;

6) высота горы Эверест равна 8848 м?

Для определения, является ли величина точной или приближённой, необходимо понять, как она была получена. Точные величины обычно являются результатом подсчёта целых объектов или установлены по определению. Приближённые величины — это результат измерений, оценок или округлений.

1) объём воды в озере Байкал составляет 23 000 $км^3$;
Объём воды в таком большом природном объекте, как озеро, невозможно измерить абсолютно точно. Это значение получено в результате сложных расчётов и измерений, которые всегда имеют погрешность. Кроме того, объём постоянно колеблется из-за притока и оттока воды, осадков и испарения. Число 23 000 также является округлённым. Следовательно, это приближённая величина.
Ответ: приближённая.

2) в классе 32 ученика;
Количество учеников — это величина, получаемая путём прямого счёта. Учеников можно сосчитать поштучно, и их число будет целым и точным (не может быть 32,5 ученика). Следовательно, это точная величина.
Ответ: точная.

3) в Государственной Думе России 450 депутатов;
Число депутатов в Государственной Думе определено законодательно. Это фиксированное количество, которое является результатом подсчёта. Следовательно, это точная величина.
Ответ: точная.

4) в самолёте Ил-96-400 436 посадочных мест;
Количество посадочных мест в самолёте — это его конструктивная особенность. Места можно пересчитать, и их число будет точным. Следовательно, это точная величина.
Ответ: точная.

5) урожай составил 36 ц с одного гектара;
Урожайность является результатом измерения (взвешивания собранного урожая) и деления на площадь. Любое измерение имеет погрешность. Кроме того, это усреднённый показатель, так как урожайность на разных участках одного гектара может отличаться. Следовательно, это приближённая величина.
Ответ: приближённая.

6) высота горы Эверест равна 8848 $м$;
Высота горы — это результат геодезических измерений. Методы измерений (спутниковые, барометрические, триангуляция) имеют погрешность. К тому же, высота горы может меняться со временем из-за геологической активности и толщины ледяной шапки. Следовательно, это приближённая величина (по последним данным, высота составляет 8848,86 м).
Ответ: приближённая.

556. Прочитайте предложения, используя слова «с точностью до…»:

1) интервал движения поездов метро составляет $50 \pm 5$ с;

2) длина рулона линолеума равна $15 \pm 0.05$ м;

3) температура воздуха в комнате равна $22 \pm 0.5 \degree C$.

Запись вида $a \pm h$ означает, что некоторая величина измерена или вычислена с приближенным значением $a$ и абсолютной погрешностью (или точностью) $h$. Это равносильно утверждению, что данная величина равна $a$ с точностью до $h$. Таким образом, чтобы перефразировать предложения, необходимо использовать значение после знака $\pm$ в качестве точности.

1) В исходном предложении «интервал движения поездов метро составляет $50 \pm 5$ с» приближенное значение интервала равно 50 с, а абсолютная погрешность (точность) составляет 5 с. Используя требуемую словесную конструкцию, получаем следующее предложение.

Ответ: Интервал движения поездов метро составляет 50 с с точностью до 5 с.

2) В исходном предложении «длина рулона линолеума равна $15 \pm 0,05$ м» приближенное значение длины равно 15 м, а абсолютная погрешность (точность) составляет 0,05 м. Используя требуемую словесную конструкцию, получаем следующее предложение.

Ответ: Длина рулона линолеума равна 15 м с точностью до 0,05 м.

3) В исходном предложении «температура воздуха в комнате равна $22 \pm 0,5$ °С» приближенное значение температуры равно 22 °С, а абсолютная погрешность (точность) составляет 0,5 °С. Используя требуемую словесную конструкцию, получаем следующее предложение.

Ответ: Температура воздуха в комнате равна 22 °С с точностью до 0,5 °С.

557. Что означает запись:

1) $x = 12,6 \pm 0,2$ м;

2) $x = 23 \pm 1$ мм;

3) $x = 25 \pm 0,5$ °C;

4) $x = 9,8 \pm 0,1 \text{ м/с}^2$?

1) Запись $x = 12,6 \pm 0,2$ м означает, что проведено измерение физической величины (длины), и результат представлен с учётом погрешности. Здесь $12,6$ м — это измеренное значение, а $0,2$ м — абсолютная погрешность измерения. Это значит, что истинное значение длины $x$ с высокой вероятностью находится в интервале, который можно определить, прибавив и вычтя погрешность из измеренного значения. Нижняя граница интервала: $12,6 - 0,2 = 12,4$ м. Верхняя граница интервала: $12,6 + 0,2 = 12,8$ м. Таким образом, истинное значение величины $x$ лежит в пределах, описываемых двойным неравенством: $12,4 \text{ м} \le x \le 12,8 \text{ м}$.

Ответ: Эта запись означает, что истинное значение физической величины $x$ находится в интервале от $12,4$ м до $12,8$ м.

2) Запись $x = 23 \pm 1$ мм означает, что результат измерения длины равен $23$ мм с абсолютной погрешностью $\pm 1$ мм. Это указывает на то, что истинное значение длины $x$ находится в диапазоне значений от $23 - 1 = 22$ мм до $23 + 1 = 24$ мм. Математически этот диапазон можно выразить следующим образом: $22 \text{ мм} \le x \le 24 \text{ мм}$.

Ответ: Эта запись означает, что истинное значение физической величины $x$ находится в интервале от $22$ мм до $24$ мм.

3) Запись $x = 25 \pm 0,5$ °C представляет результат измерения температуры. Измеренное значение равно $25$ °C, а абсолютная погрешность составляет $0,5$ °C. Следовательно, истинное значение температуры $x$ заключено в интервале от $25 - 0,5 = 24,5$ °C до $25 + 0,5 = 25,5$ °C. Этот интервал можно представить в виде двойного неравенства: $24,5 \text{ °C} \le x \le 25,5 \text{ °C}$.

Ответ: Эта запись означает, что истинное значение физической величины $x$ находится в интервале от $24,5$ °C до $25,5$ °C.

4) Запись $x = 9,8 \pm 0,1$ м/с² показывает результат измерения ускорения (например, ускорения свободного падения). Измеренное значение составляет $9,8$ м/с², а абсолютная погрешность равна $0,1$ м/с². Это означает, что истинное значение ускорения $x$ находится в диапазоне от $9,8 - 0,1 = 9,7$ м/с² до $9,8 + 0,1 = 9,9$ м/с². Этот диапазон можно выразить математически с помощью неравенства: $9,7 \text{ м/с}^2 \le x \le 9,9 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Эта запись означает, что истинное значение физической величины $x$ находится в интервале от $9,7$ м/с² до $9,9$ м/с².

558. Запишите в виде двойного неравенства:

1) $x = 15 \pm 0.3$;

2) $x = \frac{4}{5} \pm \frac{1}{3}$;

3) $x = 3.8 \pm 1$.

1) Запись $x = 15 \pm 0,3$ эквивалентна двойному неравенству $15 - 0,3 \le x \le 15 + 0,3$.

Найдем левую и правую части неравенства:

Нижняя граница: $15 - 0,3 = 14,7$.

Верхняя граница: $15 + 0,3 = 15,3$.

Следовательно, двойное неравенство имеет вид: $14,7 \le x \le 15,3$.

Ответ: $14,7 \le x \le 15,3$

2) Запись $x = \frac{4}{5} \pm \frac{1}{3}$ эквивалентна двойному неравенству $\frac{4}{5} - \frac{1}{3} \le x \le \frac{4}{5} + \frac{1}{3}$.

Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к общему знаменателю, который равен 15:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

Теперь найдем границы неравенства:

Нижняя граница: $\frac{12}{15} - \frac{5}{15} = \frac{12-5}{15} = \frac{7}{15}$.

Верхняя граница: $\frac{12}{15} + \frac{5}{15} = \frac{12+5}{15} = \frac{17}{15}$.

Следовательно, двойное неравенство имеет вид: $\frac{7}{15} \le x \le \frac{17}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15} \le x \le \frac{17}{15}$

3) Запись $x = 3,8 \pm 1$ эквивалентна двойному неравенству $3,8 - 1 \le x \le 3,8 + 1$.

Найдем левую и правую части неравенства:

Нижняя граница: $3,8 - 1 = 2,8$.

Верхняя граница: $3,8 + 1 = 4,8$.

Следовательно, двойное неравенство имеет вид: $2,8 \le x \le 4,8$.

Ответ: $2,8 \le x \le 4,8$

559. Запишите в виде двойного неравенства:

1) $x = 36,6 \pm 0,1;$

2) $x = \frac{2}{3} \pm \frac{1}{6};$

3) $x = -7 \pm 0,2.$

1) Запись $x = 36,6 \pm 0,1$ означает, что значение $x$ удовлетворяет двойному неравенству, нижняя граница которого равна $36,6 - 0,1$, а верхняя — $36,6 + 0,1$.
Вычислим значения границ:
Нижняя граница: $36,6 - 0,1 = 36,5$.
Верхняя граница: $36,6 + 0,1 = 36,7$.
Таким образом, двойное неравенство имеет вид: $36,5 \le x \le 36,7$.
Ответ: $36,5 \le x \le 36,7$.

2) Запись $x = \frac{2}{3} \pm \frac{1}{6}$ означает, что значение $x$ удовлетворяет двойному неравенству, нижняя граница которого равна $\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$, а верхняя — $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$.
Для вычисления границ приведем дроби к общему знаменателю 6:
Нижняя граница: $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Верхняя граница: $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Таким образом, двойное неравенство имеет вид: $\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{6}$.

3) Запись $x = -7 \pm 0,2$ означает, что значение $x$ удовлетворяет двойному неравенству, нижняя граница которого равна $-7 - 0,2$, а верхняя — $-7 + 0,2$.
Вычислим значения границ:
Нижняя граница: $-7 - 0,2 = -7,2$.
Верхняя граница: $-7 + 0,2 = -6,8$.
Таким образом, двойное неравенство имеет вид: $-7,2 \le x \le -6,8$.
Ответ: $-7,2 \le x \le -6,8$.

560. Известно, что $x = 7,9 \pm 0,3$. Может ли точное значение величины x быть равным:

1) 8;

2) 7;

3) 7,5;

4) 7,6;

5) 8,2?

Запись $x = 7,9 \pm 0,3$ означает, что точное значение величины $x$ находится в интервале, который можно определить с помощью двойного неравенства.

$7,9 - 0,3 \le x \le 7,9 + 0,3$

Вычислим границы этого интервала:

Нижняя граница: $7,9 - 0,3 = 7,6$.

Верхняя граница: $7,9 + 0,3 = 8,2$.

Таким образом, точное значение $x$ должно удовлетворять неравенству $7,6 \le x \le 8,2$. Проверим каждое из предложенных значений, может ли оно принадлежать этому интервалу $[7,6; 8,2]$.

1) 8;

Проверим, выполняется ли неравенство $7,6 \le 8 \le 8,2$. Это неравенство верно, поскольку 8 находится между 7,6 и 8,2. Следовательно, точное значение $x$ может быть равным 8.
Ответ: да, может.

2) 7;

Проверим, выполняется ли неравенство $7,6 \le 7 \le 8,2$. Это неравенство неверно, так как $7 < 7,6$. Значение 7 не принадлежит допустимому интервалу.
Ответ: нет, не может.

3) 7,5;

Проверим, выполняется ли неравенство $7,6 \le 7,5 \le 8,2$. Это неравенство неверно, так как $7,5 < 7,6$. Значение 7,5 не принадлежит допустимому интервалу.
Ответ: нет, не может.

4) 7,6;

Проверим, выполняется ли неравенство $7,6 \le 7,6 \le 8,2$. Это неравенство верно. Значение 7,6 равно нижней границе интервала, что допустимо, так как неравенство нестрогое. Следовательно, точное значение $x$ может быть равным 7,6.
Ответ: да, может.

5) 8,2;

Проверим, выполняется ли неравенство $7,6 \le 8,2 \le 8,2$. Это неравенство верно. Значение 8,2 равно верхней границе интервала, что допустимо, так как неравенство нестрогое. Следовательно, точное значение $x$ может быть равным 8,2.
Ответ: да, может.

561. Известно, что $x = 8,7 \pm 0,2$. Может ли точное значение величины $x$ быть равным:

1) 8;

2) 9;

3) 8,9;

4) 8,6?

Запись $x = 8,7 \pm 0,2$ означает, что приближенное значение величины $x$ равно $8,7$, а абсолютная погрешность не превышает $0,2$. Это можно записать в виде двойного неравенства, которое определяет диапазон возможных точных значений $x$:

$8,7 - 0,2 \le x \le 8,7 + 0,2$

Выполнив вычисления, найдем границы этого диапазона:

$8,5 \le x \le 8,9$

Следовательно, точное значение величины $x$ должно принадлежать отрезку $[8,5; 8,9]$. Теперь проверим каждое из предложенных значений.

Проверим, может ли точное значение $x$ быть равным 8. Для этого необходимо, чтобы значение 8 принадлежало отрезку $[8,5; 8,9]$. Сравним 8 с левой границей отрезка: $8 < 8,5$. Поскольку 8 меньше нижней границы, оно не входит в указанный диапазон.
Ответ: Нет, не может.

Проверим, может ли точное значение $x$ быть равным 9. Значение 9 должно принадлежать отрезку $[8,5; 8,9]$. Сравним 9 с правой границей отрезка: $9 > 8,9$. Поскольку 9 больше верхней границы, оно не входит в указанный диапазон.
Ответ: Нет, не может.

Проверим, может ли точное значение $x$ быть равным 8,9. Проверим принадлежность этого значения отрезку $[8,5; 8,9]$. Неравенство $8,5 \le 8,9 \le 8,9$ является верным. Значение 8,9 совпадает с верхней границей отрезка и, следовательно, принадлежит ему.
Ответ: Да, может.

Проверим, может ли точное значение $x$ быть равным 8,6. Проверим принадлежность этого значения отрезку $[8,5; 8,9]$. Неравенство $8,5 \le 8,6 \le 8,9$ является верным, так как 8,6 находится между 8,5 и 8,9. Следовательно, это значение принадлежит допустимому диапазону.
Ответ: Да, может.

562. Найдите абсолютную погрешность приближения числа $9,806$ числом:

1) $9$;

2) $9,8$;

3) $9,81$;

4) $10$.

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением и приближенным значением. Если $x$ — это точное значение, а $a$ — его приближенное значение, то абсолютная погрешность $\Delta$ вычисляется по формуле: $\Delta = |x - a|$.

В данной задаче точное значение $x = 9,806$. Вычислим абсолютную погрешность для каждого из предложенных приближений.

1) Для приближения числом $a = 9$:
Абсолютная погрешность равна $\Delta = |9,806 - 9| = |0,806| = 0,806$.
Ответ: 0,806.

2) Для приближения числом $a = 9,8$:
Абсолютная погрешность равна $\Delta = |9,806 - 9,8| = |0,006| = 0,006$.
Ответ: 0,006.

3) Для приближения числом $a = 9,81$:
Абсолютная погрешность равна $\Delta = |9,806 - 9,81| = |-0,004| = 0,004$.
Ответ: 0,004.

4) Для приближения числом $a = 10$:
Абсолютная погрешность равна $\Delta = |9,806 - 10| = |-0,194| = 0,194$.
Ответ: 0,194.