Страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие вы знаете три основные задачи на проценты?

Существуют три основные задачи на проценты:

1. Нахождение процента от заданного числа.

В этой задаче известно целое значение (которое принимается за 100%) и требуется найти значение, соответствующее определенному проценту от этого целого. Для решения необходимо перевести проценты в десятичную дробь (разделив на 100) и умножить на исходное число.

Пример: Найти 25% от числа 200.

Решение:

1. Переведем проценты в десятичную дробь: $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$.

2. Умножим исходное число на полученную дробь: $200 \cdot 0.25 = 50$.

Ответ: 50.

2. Нахождение числа по его проценту.

В этой задаче известно значение некоторой части числа и процент, который эта часть составляет от целого. Требуется найти само целое число (100%). Для решения необходимо перевести проценты в десятичную дробь, а затем разделить известную часть на эту дробь.

Пример: 40 — это 10% от некоторого числа. Найти это число.

Решение:

1. Переведем проценты в десятичную дробь: $10\% = \frac{10}{100} = 0.1$.

2. Разделим известную часть на полученную дробь: $40 \div 0.1 = 400$.

Ответ: 400.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

В этой задаче даны два числа (часть и целое), и нужно определить, какой процент составляет одно число от другого. Для решения нужно разделить часть на целое и результат умножить на 100%.

Пример: Какой процент составляет число 15 от числа 60?

Решение:

1. Найдем отношение части к целому: $\frac{15}{60} = 0.25$.

2. Умножим полученное значение на 100, чтобы выразить его в процентах: $0.25 \cdot 100\% = 25\%$.

Ответ: 25%.

2. Какой вид имеет формула сложных процентов?

$A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}$

Сложные проценты — это проценты, которые начисляются не только на первоначальную сумму вклада или долга (основную сумму), но и на проценты, накопленные за предыдущие периоды. Этот механизм также называют «проценты на проценты», что приводит к экспоненциальному росту суммы.

Основная формула для расчета сложных процентов, когда начисление происходит один раз за период (например, раз в год), имеет следующий вид:

$S_n = S_0 \cdot (1 + p)^n$

где:
$S_n$ — конечная сумма, то есть первоначальная сумма вместе с начисленными процентами через n периодов;
$S_0$ — начальная (первоначальная) сумма;
$p$ — процентная ставка за один период начисления, выраженная в долях единицы (например, если ставка 5% годовых, то $p = 0.05$);
$n$ — количество периодов начисления процентов.

Эта формула является базовой. В более общем случае, когда проценты начисляются несколько раз в год (например, ежемесячно или ежеквартально), используется расширенная, более универсальная формула:

$A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{k}\right)^{k \cdot t}$

где:
$A$ — будущая стоимость вклада/долга (конечная сумма);
$P$ — текущая стоимость (начальная сумма);
$r$ — годовая процентная ставка (в долях);
$k$ — количество периодов начисления процентов в год (например, для ежемесячного начисления $k=12$, для ежеквартального $k=4$);
$t$ — общий срок в годах.

Обе формулы описывают один и тот же принцип капитализации процентов, но вторая является более гибкой для практических финансовых расчетов.

Ответ: Классическая формула сложных процентов имеет вид $S_n = S_0 \cdot (1 + p)^n$, где $S_n$ — конечная сумма, $S_0$ — начальная сумма, $p$ — процентная ставка за один период начисления, а $n$ — количество таких периодов.

522. Вкладчик положил в банк 20 000 р. под 6 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через год?

Чтобы определить, какая сумма будет на счёте через год, необходимо рассчитать годовой процент от вклада и прибавить его к начальной сумме.

1. Сначала найдём 6% от 20 000 рублей. Для этого переведём проценты в десятичную дробь и умножим на сумму вклада.

$6\% = \frac{6}{100} = 0.06$

Сумма процентов, начисленных за год, составит:

$20000 \cdot 0.06 = 1200$ рублей.

2. Теперь прибавим начисленные проценты к первоначальной сумме вклада, чтобы узнать итоговую сумму на счёте через год.

$20000 + 1200 = 21200$ рублей.

Эту задачу можно также решить одним действием. Если начальная сумма составляет 100%, то после начисления 6% годовых на счёте будет $100\% + 6\% = 106\%$. Найдём 106% от 20 000 рублей.

$20000 \cdot 1.06 = 21200$ рублей.

Ответ: через год на счёте будет 21 200 рублей.

523. Вкладчик положил в банк 50 000 р. под 8 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через три года?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов. Это означает, что проценты за каждый год начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на уже начисленные ранее проценты. Формула для расчёта итоговой суммы при сложных процентах выглядит так:

$$ S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{P}{100})^n $$

где:

$S_n$ — итоговая сумма на счёте через $n$ лет;

$S_0$ — первоначальная сумма вклада;

$P$ — годовая процентная ставка;

$n$ — количество лет.

В нашем случае даны следующие значения:

Первоначальная сумма вклада $S_0 = 50\,000$ рублей.

Годовая процентная ставка $P = 8$ %.

Срок вклада $n = 3$ года.

Подставим эти значения в формулу и выполним расчёты по шагам.

Шаг 1: Рассчитаем сумму на счёте через год.

Сумма увеличится на 8%.

$$ S_1 = 50000 \cdot (1 + \frac{8}{100}) = 50000 \cdot 1.08 = 54000 \text{ р.} $$

Шаг 2: Рассчитаем сумму на счёте через два года.

Теперь 8% начисляются на новую сумму в 54 000 рублей.

$$ S_2 = 54000 \cdot 1.08 = 58320 \text{ р.} $$

Это то же самое, что и $S_0 \cdot (1.08)^2$: $50000 \cdot (1.08)^2 = 50000 \cdot 1.1664 = 58320$ р.

Шаг 3: Рассчитаем итоговую сумму на счёте через три года.

8% начисляются на сумму, которая была на счёте после второго года, то есть на 58 320 рублей.

$$ S_3 = 58320 \cdot 1.08 = 62985.6 \text{ р.} $$

Или, используя общую формулу для трёх лет:

$$ S_3 = 50000 \cdot (1.08)^3 = 50000 \cdot 1.259712 = 62985.6 \text{ р.} $$

Таким образом, через три года на счёте вкладчика будет 62 985 рублей 60 копеек.

Ответ: 62 985,6 р.

524. Четыре года назад завод изготавливал 10 000 единиц некоторого изделия в год. Благодаря модернизации производства и повышению производительности труда достигли ежегодного прироста объёмов производства на $20\%$. Сколько единиц указанного изделия будет изготовлено в этом году?

Для решения этой задачи необходимо рассчитать итоговый объем производства, учитывая ежегодный прирост на 20% в течение четырех лет. Это задача на применение формулы сложных процентов.

Начальный объем производства (4 года назад), обозначим его $P_0$, составлял $10\,000$ единиц.

Ежегодный прирост составляет 20%. Это означает, что каждый год объем производства умножается на коэффициент $k = 1 + \frac{20}{100} = 1.2$.

Период, за который происходил рост, составляет 4 года (с момента "четыре года назад" до "этого года").

Можно вычислить объем производства для каждого года последовательно:
Через 1 год (3 года назад): $10\,000 \times 1.2 = 12\,000$ единиц.
Через 2 года (2 года назад): $12\,000 \times 1.2 = 14\,400$ единиц.
Через 3 года (в прошлом году): $14\,400 \times 1.2 = 17\,280$ единиц.
Через 4 года (в этом году): $17\,280 \times 1.2 = 20\,736$ единиц.

Альтернативный способ — использовать общую формулу для сложных процентов, которая позволяет найти результат за один шаг: $P_n = P_0 \times (1 + r)^n$
где $P_0$ — начальный объем, $r$ — годовой прирост в долях, $n$ — количество лет.

Подставляем наши данные в формулу: $P_0 = 10\,000$, $r = 0.2$, $n = 4$.
$P_4 = 10\,000 \times (1 + 0.2)^4 = 10\,000 \times (1.2)^4$

Сначала вычисляем степень: $(1.2)^4 = 2.0736$.

Затем находим итоговый объем производства:
$P_4 = 10\,000 \times 2.0736 = 20\,736$ единиц.

Ответ: 20 736 единиц.

525. После двух последовательных снижений цены на 10 % канцелярский стол стал стоить 3240 р. Найдите первоначальную цену стола.

Для решения этой задачи необходимо найти первоначальную цену стола, зная конечную цену после двух последовательных снижений на 10%.

Решение:

Пусть $x$ — это первоначальная цена стола в рублях.

Снижение цены на 10% означает, что от старой цены остается $100\% - 10\% = 90\%$. В виде десятичной дроби это соответствует умножению на коэффициент 0,9.

1. Первое снижение цены:
После первого снижения цена стола стала составлять 90% от первоначальной. Новая цена, назовем ее $x_1$, равна: $x_1 = x \cdot (1 - \frac{10}{100}) = x \cdot 0,9 = 0,9x$

2. Второе снижение цены:
Второе снижение на 10% происходило уже от новой цены $x_1$. Таким образом, итоговая цена $x_2$ составила 90% от цены $x_1$: $x_2 = x_1 \cdot 0,9 = (0,9x) \cdot 0,9 = 0,81x$

По условию задачи, конечная цена стола $x_2$ равна 3240 рублей. Составим уравнение: $0,81x = 3240$

Чтобы найти первоначальную цену $x$, разделим обе части уравнения на 0,81: $x = \frac{3240}{0,81}$

Выполним вычисление: $x = \frac{324000}{81} = 4000$

Таким образом, первоначальная цена стола составляла 4000 рублей.

Проверка:
Начальная цена: 4000 р.
Цена после первого снижения на 10%: $4000 - (4000 \cdot 0,1) = 4000 - 400 = 3600$ р.
Цена после второго снижения на 10%: $3600 - (3600 \cdot 0,1) = 3600 - 360 = 3240$ р.
Результат совпадает с данными в задаче.

Ответ: 4000 р.

526. После двух последовательных повышений цены на 25 % люстра стала стоить 3750 р. Найдите первоначальную цену люстры.

Обозначим первоначальную цену люстры за $x$ рублей.

Повышение цены на 25% означает, что новая цена составляет 125% от предыдущей. Чтобы найти новую цену, нужно умножить старую цену на коэффициент $1 + \frac{25}{100} = 1.25$.

После первого повышения цена люстры стала равной: $P_1 = x \times 1.25$

Второе повышение на 25% применяется к новой цене $P_1$. Таким образом, итоговая цена $P_2$ после двух повышений составила: $P_2 = P_1 \times 1.25 = (x \times 1.25) \times 1.25 = x \times 1.25^2$

По условию задачи, итоговая цена люстры равна 3750 р. Составим уравнение: $x \times 1.25^2 = 3750$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 1,25 в виде обыкновенной дроби: $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$

Подставим это значение в уравнение и решим его: $x \times (\frac{5}{4})^2 = 3750$
$x \times \frac{25}{16} = 3750$

Теперь выразим и найдем $x$: $x = 3750 \times \frac{16}{25}$
$x = \frac{3750}{25} \times 16$
$x = 150 \times 16$
$x = 2400$

Следовательно, первоначальная цена люстры составляла 2400 рублей.

Ответ: 2400 р.