Страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

505. Пристань A находится выше по течению реки, чем пристань B. От пристаней A и B одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Добравшись до пристани A, лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент времени, когда он проплыл $\frac{2}{3}$ расстояния между пристанями A и B. Найдите время, которое тратит плот на путь от пристани A до пристани B, если известно, что моторная лодка проплывает путь от пристани B до пристани A и обратно за 3 ч.

Найдите время, которое тратит плот на путь от пристани А до пристани B

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B.
• $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде).
• $v_т$ – скорость течения реки. Эта же скорость является скоростью плота.

Пристань А находится выше по течению, значит, плот движется от А к B по течению, а лодка сначала движется от B к А против течения, а затем от А к B по течению.

1. Составим уравнения на основе условий задачи.

Известно, что моторная лодка проплывает путь от пристани B до пристани A и обратно за 3 часа.
Время движения лодки от B до A (против течения) равно $t_1 = \frac{S}{v_л - v_т}$.
Время движения лодки от A до B (по течению) равно $t_2 = \frac{S}{v_л + v_т}$.
Суммарное время составляет 3 часа, следовательно, получаем первое уравнение:

$\frac{S}{v_л - v_т} + \frac{S}{v_л + v_т} = 3$ (1)

Второе условие гласит, что лодка, дойдя до пристани А, повернула обратно и догнала плот в тот момент, когда он проплыл $\frac{2}{3}$ расстояния между A и B.
Время, за которое плот проплыл расстояние $\frac{2}{3}S$, равно $t_{встречи} = \frac{\frac{2}{3}S}{v_т} = \frac{2S}{3v_т}$.
За это же время лодка проплыла от B до A (расстояние $S$ против течения) и от A до точки встречи (расстояние $\frac{2}{3}S$ по течению). Время движения лодки: $t_{встречи} = \frac{S}{v_л - v_т} + \frac{\frac{2}{3}S}{v_л + v_т}$.
Приравнивая время движения плота и лодки до момента встречи, получаем второе уравнение:

$\frac{2S}{3v_т} = \frac{S}{v_л - v_т} + \frac{2S}{3(v_л + v_т)}$ (2)

2. Решим систему уравнений.

Разделим обе части уравнения (2) на $S$ (так как $S \neq 0$):

$\frac{2}{3v_т} = \frac{1}{v_л - v_т} + \frac{2}{3(v_л + v_т)}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $3(v_л - v_т)(v_л + v_т)$:

$\frac{2}{3v_т} = \frac{3(v_л + v_т) + 2(v_л - v_т)}{3(v_л^2 - v_т^2)}$

$\frac{2}{3v_т} = \frac{3v_л + 3v_т + 2v_л - 2v_т}{3(v_л^2 - v_т^2)}$

$\frac{2}{3v_т} = \frac{5v_л + v_т}{3(v_л^2 - v_т^2)}$

Сократим на 3 обе части уравнения и воспользуемся правилом пропорции:

$2(v_л^2 - v_т^2) = v_т(5v_л + v_т)$

$2v_л^2 - 2v_т^2 = 5v_лv_т + v_т^2$

$2v_л^2 - 5v_лv_т - 3v_т^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $v_т^2$ (так как $v_т \neq 0$):

$2\left(\frac{v_л}{v_т}\right)^2 - 5\left(\frac{v_л}{v_т}\right) - 3 = 0$

Сделаем замену $x = \frac{v_л}{v_т}$. Получаем квадратное уравнение:

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Так как скорости $v_л$ и $v_т$ — положительные величины, их отношение также должно быть положительным. Следовательно, подходит только корень $x=3$.

Таким образом, мы нашли соотношение скоростей: $\frac{v_л}{v_т} = 3$, откуда $v_л = 3v_т$.

3. Найдем искомое время.

Нам нужно найти время, которое тратит плот на путь от пристани A до пристани B, то есть величину $T_{плот} = \frac{S}{v_т}$.
Подставим найденное соотношение $v_л = 3v_т$ в первое уравнение:

$\frac{S}{3v_т - v_т} + \frac{S}{3v_т + v_т} = 3$

$\frac{S}{2v_т} + \frac{S}{4v_т} = 3$

Вынесем за скобки искомое выражение $\frac{S}{v_т}$:

$\frac{S}{v_т} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 3$

$\frac{S}{v_т} \left(\frac{2+1}{4}\right) = 3$

$\frac{S}{v_т} \cdot \frac{3}{4} = 3$

$\frac{S}{v_т} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$

Таким образом, время, которое тратит плот на весь путь от А до B, составляет 4 часа.

Ответ: 4 часа.

506. В два одинаковых бассейна одновременно начали наливать воду. В первый бассейн поступает за час на $30 \text{ м}^3$ больше воды, чем во второй. В некоторый момент в обоих бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объём каждого из них. После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а ещё через 3 ч 20 мин – второй. Сколько воды поступало за 1 ч в каждый бассейн?

Обозначим переменные: $V$ – объём каждого бассейна в м³, $v_1$ – скорость наполнения первого бассейна в м³/ч, $v_2$ – скорость наполнения второго бассейна в м³/ч, и $t_0$ – время в часах до контрольного момента.

Из условия задачи следует, что скорость наполнения первого бассейна на 30 м³/ч больше, чем второго: $v_1 = v_2 + 30$.

В контрольный момент времени $t_0$ суммарный объём воды в обоих бассейнах был равен объёму одного бассейна: $v_1 t_0 + v_2 t_0 = V$, что можно записать как $(v_1 + v_2) t_0 = V$.

После этого момента первый бассейн наполнился за 2 ч 40 мин. Переведем это время в часы: $t_1 = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2\frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3} \text{ ч}$. Общий объём бассейна $V$ можно выразить как сумму объёма в момент $t_0$ и объёма, долитого за время $t_1$: $V = v_1 t_0 + v_1 \cdot \frac{8}{3} = v_1(t_0 + \frac{8}{3})$.

Второй бассейн наполнился на 3 ч 20 мин позже первого. Следовательно, время, которое потребовалось для наполнения второго бассейна после момента $t_0$, составляет: $t_2 = (2 \text{ ч } 40 \text{ мин}) + (3 \text{ ч } 20 \text{ мин}) = \frac{8}{3} \text{ ч} + (3 + \frac{20}{60})\text{ ч} = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} = 6 \text{ ч}$. Для второго бассейна получаем аналогичное уравнение: $V = v_2 t_0 + v_2 \cdot 6 = v_2(t_0 + 6)$.

Теперь у нас есть система уравнений. Приравняем выражения для объёма $V$:

$v_1(t_0 + \frac{8}{3}) = v_2(t_0 + 6)$

Подставим $v_1 = v_2 + 30$ в это уравнение:

$(v_2 + 30)(t_0 + \frac{8}{3}) = v_2(t_0 + 6)$

$v_2 t_0 + \frac{8}{3}v_2 + 30t_0 + 30 \cdot \frac{8}{3} = v_2 t_0 + 6v_2$

$\frac{8}{3}v_2 + 30t_0 + 80 = 6v_2$

Выразим $30t_0$:

$30t_0 = 6v_2 - \frac{8}{3}v_2 - 80 = \frac{18v_2 - 8v_2}{3} - 80 = \frac{10}{3}v_2 - 80$.

Из уравнений $(v_1 + v_2) t_0 = V$ и $V = v_2(t_0 + 6)$ следует, что $(v_1 + v_2) t_0 = v_2(t_0 + 6)$.

Снова подставим $v_1 = v_2 + 30$:

$(v_2 + 30 + v_2)t_0 = v_2 t_0 + 6v_2$

$(2v_2 + 30)t_0 = v_2 t_0 + 6v_2$

$2v_2 t_0 + 30t_0 = v_2 t_0 + 6v_2$

$v_2 t_0 + 30t_0 = 6v_2$

Отсюда выразим $t_0$: $t_0(v_2 + 30) = 6v_2 \implies t_0 = \frac{6v_2}{v_2 + 30}$.

Теперь подставим полученное выражение для $t_0$ в ранее найденное уравнение для $30t_0$:

$30 \left( \frac{6v_2}{v_2 + 30} \right) = \frac{10}{3}v_2 - 80$

$\frac{180v_2}{v_2 + 30} = \frac{10v_2 - 240}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3 \cdot 180v_2 = (v_2 + 30)(10v_2 - 240)$

$540v_2 = 10v_2^2 - 240v_2 + 300v_2 - 7200$

$540v_2 = 10v_2^2 + 60v_2 - 7200$

Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:

$10v_2^2 - 480v_2 - 7200 = 0$

Разделим обе части уравнения на 10:

$v_2^2 - 48v_2 - 720 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-720) = 2304 + 2880 = 5184$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5184} = 72$.

Находим корни уравнения для $v_2$:

$v_{2,1} = \frac{48 + 72}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_{2,2} = \frac{48 - 72}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Скорость поступления воды не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -12$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость наполнения второго бассейна $v_2 = 60$ м³/ч.

Теперь найдем скорость наполнения первого бассейна:

$v_1 = v_2 + 30 = 60 + 30 = 90$ м³/ч.

Ответ: В первый бассейн поступало 90 м³/ч воды, а во второй — 60 м³/ч.

507. В 7 ч утра от первого причала отплыли две лодки. Сначала они плыли 8 км по озеру, а затем 5 км по течению реки до второго причала. Первая лодка приплыла в место назначения не позже 9 ч 50 мин, а вторая – не раньше 10 ч 40 мин того же дня. Чему равна скорость каждой лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$, а скорость второй лодки в стоячей воде составляет $75 \%$ скорости первой лодки в стоячей воде?

Для решения этой задачи введем переменную для скорости первой лодки, выразим через нее все остальные скорости и время в пути, а затем составим и решим систему неравенств, основанную на времени прибытия лодок.

1. Определение переменных и скоростей

Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость первой лодки (скорость в стоячей воде).
Согласно условию, скорость второй лодки в стоячей воде составляет 75% от скорости первой, то есть ее собственная скорость равна $0.75x$ км/ч.
Скорость течения реки равна $v_{\text{теч}} = 2$ км/ч.
Лодки плывут 8 км по озеру (где течение отсутствует) и 5 км по течению реки.
Скорость первой лодки по озеру: $v_{1,\text{озеро}} = x$ км/ч.
Скорость первой лодки по реке (по течению): $v_{1,\text{река}} = x + v_{\text{теч}} = x + 2$ км/ч.
Скорость второй лодки по озеру: $v_{2,\text{озеро}} = 0.75x$ км/ч.
Скорость второй лодки по реке (по течению): $v_{2,\text{река}} = 0.75x + v_{\text{теч}} = 0.75x + 2$ км/ч.
Из физического смысла задачи следует, что собственная скорость лодки должна быть положительной, то есть $x > 0$.

2. Расчет времени в пути для каждой лодки

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Общее время движения первой лодки ($T_1$) складывается из времени движения по озеру и по реке:
$T_1 = t_{1,\text{озеро}} + t_{1,\text{река}} = \frac{8}{x} + \frac{5}{x+2}$ часов.
Аналогично для второй лодки ($T_2$):
$T_2 = t_{2,\text{озеро}} + t_{2,\text{река}} = \frac{8}{0.75x} + \frac{5}{0.75x+2}$ часов.

3. Составление системы неравенств

Лодки отплыли в 7 ч 00 мин.
Первая лодка прибыла не позже 9 ч 50 мин. Это означает, что ее время в пути $T_1$ не превышает 9 ч 50 мин - 7 ч 00 мин = 2 ч 50 мин.
Переведем 2 ч 50 мин в часы: $2 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 2 + \frac{50}{60} = 2 + \frac{5}{6} = \frac{17}{6}$ часа.
Получаем первое неравенство: $T_1 \le \frac{17}{6} \implies \frac{8}{x} + \frac{5}{x+2} \le \frac{17}{6}$.
Вторая лодка прибыла не раньше 10 ч 40 мин. Это означает, что ее время в пути $T_2$ не меньше, чем 10 ч 40 мин - 7 ч 00 мин = 3 ч 40 мин.
Переведем 3 ч 40 мин в часы: $3 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 3 + \frac{40}{60} = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$ часа.
Получаем второе неравенство: $T_2 \ge \frac{11}{3} \implies \frac{8}{0.75x} + \frac{5}{0.75x+2} \ge \frac{11}{3}$.

4. Решение неравенства для первой лодки

Решим неравенство $\frac{8}{x} + \frac{5}{x+2} \le \frac{17}{6}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{8(x+2) + 5x}{x(x+2)} \le \frac{17}{6} \implies \frac{13x + 16}{x^2 + 2x} \le \frac{17}{6}$.
Так как $x>0$, знаменатель $x(x+2)$ также положителен. Умножим обе части на $6x(x+2)$ без изменения знака неравенства:
$6(13x + 16) \le 17(x^2 + 2x)$
$78x + 96 \le 17x^2 + 34x$
$17x^2 - 44x - 96 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $17x^2 - 44x - 96 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-96) = 1936 + 6528 = 8464 = 92^2$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 \pm 92}{2 \cdot 17} = \frac{44 \pm 92}{34}$.
$x_1 = \frac{44+92}{34} = \frac{136}{34} = 4$.
$x_2 = \frac{44-92}{34} = -\frac{48}{34}$.
График функции $y=17x^2-44x-96$ — парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется при $x \le x_2$ или $x \ge x_1$. Учитывая условие $x>0$, получаем решение: $x \ge 4$.

5. Решение неравенства для второй лодки

Решим неравенство $\frac{8}{0.75x} + \frac{5}{0.75x+2} \ge \frac{11}{3}$.
Для упрощения введем замену $y = 0.75x$. Так как $x>0$, то и $y>0$. Неравенство примет вид:
$\frac{8}{y} + \frac{5}{y+2} \ge \frac{11}{3}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{8(y+2) + 5y}{y(y+2)} \ge \frac{11}{3} \implies \frac{13y + 16}{y^2 + 2y} \ge \frac{11}{3}$.
Так как $y>0$, знаменатель $y(y+2)$ положителен. Умножим обе части на $3y(y+2)$:
$3(13y + 16) \ge 11(y^2 + 2y)$
$39y + 48 \ge 11y^2 + 22y$
$11y^2 - 17y - 48 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $11y^2 - 17y - 48 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-48) = 289 + 2112 = 2401 = 49^2$.
Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 49}{2 \cdot 11} = \frac{17 \pm 49}{22}$.
$y_1 = \frac{17+49}{22} = \frac{66}{22} = 3$.
$y_2 = \frac{17-49}{22} = -\frac{32}{22}$.
График функции $z=11y^2-17y-48$ — парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $y_2 \le y \le y_1$. Учитывая условие $y>0$, получаем $0 < y \le 3$.
Сделаем обратную замену $y = 0.75x = \frac{3}{4}x$:
$\frac{3}{4}x \le 3 \implies x \le \frac{3 \cdot 4}{3} \implies x \le 4$.

6. Объединение результатов и нахождение ответа

Мы получили систему из двух условий для скорости первой лодки $x$:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 4 \end{cases}$
Единственное значение $x$, удовлетворяющее этой системе, — это $x=4$.
Таким образом, собственная скорость первой лодки равна 4 км/ч.
Теперь найдем собственную скорость второй лодки:
$v_2 = 0.75x = 0.75 \cdot 4 = 3$ км/ч.
Ответ: скорость первой лодки в стоячей воде равна 4 км/ч, скорость второй лодки в стоячей воде — 3 км/ч.

508. Два рабочих изготовили по 60 одинаковых деталей, причем 30 деталей каждый из них сделал, работая с некоторой производительностью, которая у второго рабочего была на $20 \%$ выше, чем у первого. Потом первый рабочий стал изготавливать больше на 2 детали в час, а второй – на 3 детали в час. Первый рабочий потратил на выполнение всего задания не менее 5 ч 30 мин, а второй – не более 4 ч 30 мин. Сколько деталей в час изготавливал второй рабочий во время выполнения первой половины задания?

Пусть $x$ деталей в час – первоначальная производительность первого рабочего. Согласно условию, производительность второго рабочего была на 20% выше, следовательно, она составляла $x + 0.2x = 1.2x$ деталей в час.

Каждый рабочий должен был изготовить 60 деталей. Задание было разделено на две равные части по 30 деталей.

Первый рабочий на изготовление первой половины задания (30 деталей) затратил $\frac{30}{x}$ часов. Затем его производительность увеличилась на 2 детали в час и стала $x + 2$ деталей в час. На вторую половину задания он затратил $\frac{30}{x+2}$ часов. Общее время работы первого рабочего составило $T_1 = \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2}$. По условию, это время составляет не менее 5 часов 30 минут (5.5 часов).

Второй рабочий на первую половину задания затратил $\frac{30}{1.2x}$ часов. Затем его производительность увеличилась на 3 детали в час и стала $1.2x + 3$ деталей в час. На вторую половину он затратил $\frac{30}{1.2x+3}$ часов. Общее время работы второго рабочего составило $T_2 = \frac{30}{1.2x} + \frac{30}{1.2x+3}$. По условию, это время составляет не более 4 часов 30 минут (4.5 часов).

Составим систему неравенств, исходя из условий задачи, где $x > 0$:$$ \begin{cases} \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2} \ge 5.5 \\ \frac{30}{1.2x} + \frac{30}{1.2x+3} \le 4.5 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:$$ \frac{30(x+2) + 30x}{x(x+2)} \ge \frac{11}{2} $$$$ \frac{60x + 60}{x^2 + 2x} \ge \frac{11}{2} $$Поскольку $x > 0$, знаменатель $x^2 + 2x$ положителен. Умножим обе части неравенства на $2(x^2 + 2x)$:$$ 2(60x + 60) \ge 11(x^2 + 2x) $$$$ 120x + 120 \ge 11x^2 + 22x $$$$ 11x^2 - 98x - 120 \le 0 $$Найдем корни квадратного уравнения $11x^2 - 98x - 120 = 0$.Дискриминант $D = (-98)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-120) = 9604 + 5280 = 14884 = 122^2$.Корни уравнения: $x_1 = \frac{98 - 122}{22} = -\frac{12}{11}$ и $x_2 = \frac{98 + 122}{22} = 10$.Решением неравенства является промежуток $[-\frac{12}{11}, 10]$. Учитывая, что $x > 0$, получаем $0 < x \le 10$.

Решим второе неравенство:$$ \frac{30}{1.2x} + \frac{30}{1.2x+3} \le 4.5 $$$$ \frac{25}{x} + \frac{30}{1.2x+3} \le \frac{9}{2} $$$$ \frac{25(1.2x+3) + 30x}{x(1.2x+3)} \le \frac{9}{2} $$$$ \frac{30x + 75 + 30x}{1.2x^2 + 3x} \le \frac{9}{2} $$$$ \frac{60x + 75}{1.2x^2 + 3x} \le \frac{9}{2} $$Поскольку $x > 0$, знаменатель $1.2x^2 + 3x$ положителен. Умножим обе части на $2(1.2x^2 + 3x)$:$$ 2(60x+75) \le 9(1.2x^2+3x) $$$$ 120x + 150 \le 10.8x^2 + 27x $$$$ 10.8x^2 - 93x - 150 \ge 0 $$Умножим на 10 для удобства: $108x^2 - 930x - 1500 \ge 0$. Разделим на 6: $18x^2 - 155x - 250 \ge 0$.Найдем корни уравнения $18x^2 - 155x - 250 = 0$.Дискриминант $D = (-155)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-250) = 24025 + 18000 = 42025 = 205^2$.Корни уравнения: $x_1 = \frac{155 - 205}{36} = -\frac{50}{36} = -\frac{25}{18}$ и $x_2 = \frac{155 + 205}{36} = 10$.Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -\frac{25}{18}] \cup [10, +\infty)$. Учитывая, что $x > 0$, получаем $x \ge 10$.

Теперь объединим решения обоих неравенств:$$ \begin{cases} 0 < x \le 10 \\ x \ge 10 \end{cases} $$Единственным значением, удовлетворяющим системе, является $x = 10$.Таким образом, первоначальная производительность первого рабочего была 10 деталей в час.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти, сколько деталей в час изготавливал второй рабочий во время выполнения первой половины задания. Это его первоначальная производительность, которая равна $1.2x$.$1.2 \cdot 10 = 12$ деталей в час.

Ответ: 12.

509. Токарю было поручено изготовить 90 деталей, а ученику – 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью в два раза большей, чем ученик. Изготовляя остальные 60 деталей, он делал ещё на 2 детали в час больше и закончил свою работу не менее чем на 1 ч позже ученика. Однако если бы токарь первые 30 деталей изготавливал с такой же производительностью, что и остальные 60, то он закончил бы работу не ранее чем через 30 мин после ученика. Сколько деталей в час делал ученик?

Пусть производительность ученика составляет $x$ деталей в час. Поскольку производительность — это положительная величина, то $x > 0$.

Время, которое ученик затратил на изготовление 35 деталей, равно $T_{уч} = \frac{35}{x}$ часов.

Токарю было поручено изготовить 90 деталей. Он работал в два этапа.

1. Первые 30 деталей он делал с производительностью в два раза большей, чем ученик, то есть $2x$ деталей в час. Время, затраченное на эту часть работы: $t_1 = \frac{30}{2x} = \frac{15}{x}$ часов.

2. Оставшиеся $90 - 30 = 60$ деталей он изготавливал, увеличив производительность еще на 2 детали в час, то есть она стала $2x + 2$ деталей в час. Время, затраченное на вторую часть работы: $t_2 = \frac{60}{2x+2} = \frac{30}{x+1}$ часов.

Общее время работы токаря составило $T_{ток} = t_1 + t_2 = \frac{15}{x} + \frac{30}{x+1}$ часов.

По условию, токарь закончил свою работу не менее чем на 1 час позже ученика. Это можно записать в виде неравенства:

$T_{ток} \ge T_{уч} + 1$

$\frac{15}{x} + \frac{30}{x+1} \ge \frac{35}{x} + 1$

Решим это неравенство:

$\frac{30}{x+1} - 1 \ge \frac{35}{x} - \frac{15}{x}$

$\frac{30 - (x+1)}{x+1} \ge \frac{20}{x}$

$\frac{29-x}{x+1} - \frac{20}{x} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{x(29-x) - 20(x+1)}{x(x+1)} \ge 0$

$\frac{29x - x^2 - 20x - 20}{x(x+1)} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 9x - 20}{x(x+1)} \ge 0$

Так как $x > 0$, знаменатель $x(x+1)$ всегда положителен. Значит, знак дроби зависит только от знака числителя: $-x^2 + 9x - 20 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 9x + 20 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ являются $x_1=4$ и $x_2=5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, $4 \le x \le 5$.

Рассмотрим гипотетическую ситуацию. Если бы токарь все 90 деталей изготавливал с производительностью $2x + 2$ деталей в час, то его время работы составило бы $T'_{ток} = \frac{90}{2x+2} = \frac{45}{x+1}$ часов.

По условию, в этом случае он закончил бы работу не ранее чем через 30 минут (то есть 0.5 часа) после ученика. Составим второе неравенство:

$T'_{ток} \ge T_{уч} + 0.5$

$\frac{45}{x+1} \ge \frac{35}{x} + \frac{1}{2}$

Решим это неравенство:

$\frac{45}{x+1} - \frac{35}{x} - \frac{1}{2} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $2x(x+1)$:

$\frac{45 \cdot 2x - 35 \cdot 2(x+1) - x(x+1)}{2x(x+1)} \ge 0$

$\frac{90x - 70x - 70 - x^2 - x}{2x(x+1)} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 19x - 70}{2x(x+1)} \ge 0$

Знаменатель $2x(x+1)$ положителен при $x > 0$. Следовательно, $-x^2 + 19x - 70 \ge 0$. Умножим на -1: $x^2 - 19x + 70 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 - 19x + 70 = 0$ являются $x_1=5$ и $x_2=14$. Неравенство выполняется между корнями: $5 \le x \le 14$.

Производительность ученика $x$ должна удовлетворять обоим найденным условиям одновременно. Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 4 \le x \le 5 \\ 5 \le x \le 14 \end{cases} $$

Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=5$.

Ответ: 5 деталей в час.

510. Бригады рабочих получили со склада одежду для работы: по 2 комплекта на каждого человека. Каждая бригада получила на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой бригаде выдавали бы по 12 комплектов, то одежды на всех не хватило бы. Сколько комплектов одежды было на складе?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество бригад рабочих, а $K$ — общее количество комплектов одежды на складе.

Согласно условию, «каждая бригада получила на 20 комплектов больше, чем было бригад». Это означает, что одна бригада получила $(x+20)$ комплектов. Общее количество комплектов $K$ на складе можно выразить как произведение количества бригад на количество комплектов, выданных каждой бригаде:

$K = x(x + 20)$

Другое условие гласит: «Если бы бригад было на 4 больше и каждой бригаде выдавали бы по 12 комплектов, то одежды на всех не хватило бы». Составим неравенство на основе этого условия.

Новое количество бригад было бы $x+4$. Если бы каждой из них выдали по 12 комплектов, то общее требуемое количество комплектов составило бы $12(x+4)$. Так как одежды бы не хватило, это количество больше, чем было на складе ($K$):

$12(x + 4) > K$

Теперь подставим в это неравенство выражение для $K$, которое мы нашли ранее:

$12(x + 4) > x(x + 20)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$12x + 48 > x^2 + 20x$

$0 > x^2 + 20x - 12x - 48$

$x^2 + 8x - 48 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x - 48 = 0$. Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$. Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{256}}{2} = \frac{-8 - 16}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{256}}{2} = \frac{-8 + 16}{2} = 4$

Парабола $y = x^2 + 8x - 48$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 8x - 48 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями: $-12 < x < 4$.

По смыслу задачи, количество бригад $x$ должно быть целым положительным числом. Из интервала $(-12; 4)$ этому условию удовлетворяют $x=1, x=2, x=3$.

В задаче также есть важное уточнение: «бригады рабочих получили со склада одежду для работы: по 2 комплекта на каждого человека». Это значит, что количество комплектов, выданных одной бригаде, должно быть четным, так как оно равно удвоенному числу рабочих в этой бригаде. Количество комплектов на одну бригаду составляет $x+20$. Чтобы сумма $x+20$ была четной, число $x$ также должно быть четным.

Из возможных значений $x \in \{1, 2, 3\}$ единственным четным является $x=2$.

Таким образом, количество бригад было равно 2. Теперь мы можем найти общее количество комплектов одежды на складе, подставив $x=2$ в нашу первую формулу:

$K = 2(2 + 20) = 2 \cdot 22 = 44$.

Ответ: на складе было 44 комплекта одежды.

511. Солдат, прибывших на парад, планировали выстроить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 солдата. По прибытии оказалось, что не все они смогут участвовать в параде, поэтому их выстроили так, что рядов стало на 2 меньше, чем планировалось, а количество человек в ряду – на 26 больше, чем новое количество рядов. Сколько солдат прибыло на парад, если известно, что если бы все они участвовали в параде, то их можно было бы построить так, чтобы количество рядов было равным количеству человек в ряду?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $N_{приб}$ — общее количество солдат, прибывших на парад, а $r_{план}$ — планировавшееся количество рядов.

Согласно первоначальному плану, в каждом ряду должно было быть по 24 солдата. Таким образом, общее количество прибывших солдат можно выразить формулой:

$N_{приб} = 24 \cdot r_{план}$

Из условия известно, что если бы все прибывшие солдаты участвовали в параде, их можно было бы построить так, чтобы количество рядов было равно количеству человек в ряду. Это означает, что общее количество прибывших солдат $N_{приб}$ является полным квадратом некоторого целого числа $k$.

$N_{приб} = k^2$

Следовательно, $24 \cdot r_{план} = k^2$. Разложим число 24 на простые множители: $24 = 2^3 \cdot 3^1$. Чтобы произведение $24 \cdot r_{план}$ было полным квадратом, все степени в его разложении на простые множители должны быть четными. Это значит, что $r_{план}$ должен содержать множители $2^1$ и $3^1$, чтобы уравнять степени. Таким образом, $r_{план}$ должен иметь вид $r_{план} = 2 \cdot 3 \cdot m^2 = 6m^2$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Далее рассмотрим новое построение. Оказалось, что не все солдаты смогли участвовать. Их построили следующим образом:

Новое количество рядов: $r_{нов} = r_{план} - 2$.

Новое количество человек в ряду: $s_{нов} = r_{нов} + 26 = (r_{план} - 2) + 26 = r_{план} + 24$.

Количество солдат, принявших участие в параде, $N_{участ}$, равно:

$N_{участ} = r_{нов} \cdot s_{нов} = (r_{план} - 2)(r_{план} + 24)$.

Поскольку в параде участвовали не все солдаты, то $N_{участ} < N_{приб}$. Составим и решим неравенство:

$(r_{план} - 2)(r_{план} + 24) < 24 \cdot r_{план}$

Раскроем скобки и упростим:

$r_{план}^2 + 24r_{план} - 2r_{план} - 48 < 24r_{план}$

$r_{план}^2 + 22r_{план} - 48 < 24r_{план}$

$r_{план}^2 - 2r_{план} - 48 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $-6 < r_{план} < 8$.

Теперь объединим все известные нам условия для $r_{план}$. Во-первых, $r_{план}$ — это количество рядов, значит, это целое положительное число. Во-вторых, так как $r_{нов} = r_{план} - 2$, и $r_{нов}$ тоже должно быть целым положительным числом, то $r_{план} - 2 > 0$, откуда $r_{план} > 2$. В-третьих, из решенного неравенства мы получили, что $r_{план} < 8$. И в-четвертых, из условия о полном квадрате мы знаем, что $r_{план} = 6m^2$, где $m$ — натуральное число ($m \ge 1$).

Нам нужно найти такое натуральное число $m$, чтобы выполнялось $2 < 6m^2 < 8$.

При $m=1$, $r_{план} = 6 \cdot 1^2 = 6$. Это значение удовлетворяет неравенству $2 < 6 < 8$.

При $m=2$, $r_{план} = 6 \cdot 2^2 = 24$. Это значение не удовлетворяет условию $r_{план} < 8$. При больших значениях $m$ результат будет еще больше.

Следовательно, единственно возможным значением является $r_{план} = 6$.

Теперь мы можем найти общее количество солдат, прибывших на парад:

$N_{приб} = 24 \cdot r_{план} = 24 \cdot 6 = 144$.

Проверим: $144 = 12^2$, что является полным квадратом. Количество участников парада составило бы $(6-2)(6+24) = 4 \cdot 30 = 120$ солдат, что меньше 144. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 144.

512. На химическом заводе есть цеха трёх типов. В каждом цехе первого, второго и третьего типов работает соответственно 350, 80 и 60 рабочих. Всего в этих цехах завода работает 980 человек. Найдите количество цехов каждого типа.

Пусть $x$ — количество цехов первого типа, $y$ — количество цехов второго типа, а $z$ — количество цехов третьего типа. Поскольку речь идет о количестве цехов, $x$, $y$ и $z$ должны быть целыми положительными числами.

Согласно условию задачи, в каждом цехе первого типа работает 350 человек, второго — 80, третьего — 60. Общее число рабочих составляет 980 человек. Мы можем составить следующее уравнение:

$350x + 80y + 60z = 980$

Для упрощения разделим все члены уравнения на их общий делитель, равный 10:

$35x + 8y + 6z = 98$

Так как $x$, $y$ и $z$ — целые положительные числа (предполагаем, что есть хотя бы по одному цеху каждого типа, то есть $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$), мы можем проанализировать возможные значения для $x$.

Рассмотрим слагаемое $35x$. Оно не может быть больше 98. Если $x=1$, то $35 \cdot 1 = 35$. Если $x=2$, то $35 \cdot 2 = 70$. Если $x=3$, то $35 \cdot 3 = 105$, что больше 98. Следовательно, $x$ может быть равен только 1 или 2.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x = 1$. Подставим это значение в упрощенное уравнение: $35(1) + 8y + 6z = 98$, что приводит к $8y + 6z = 63$. Левая часть уравнения, $8y + 6z = 2(4y + 3z)$, всегда является четным числом для любых целых $y$ и $z$. Правая часть, 63, является нечетным числом. Равенство четного и нечетного чисел невозможно. Следовательно, при $x=1$ уравнение не имеет решений в целых числах.

Случай 2: $x = 2$. Подставим это значение в упрощенное уравнение: $35(2) + 8y + 6z = 98$, что приводит к $70 + 8y + 6z = 98$, или $8y + 6z = 28$. Разделим обе части на 2: $4y + 3z = 14$.

Теперь найдем положительные целочисленные решения для $y$ и $z$. Выразим $z$ через $y$: $z = \frac{14 - 4y}{3}$. Поскольку $y \ge 1$ и $z \ge 1$, то $14 - 4y > 0$, что означает $4y < 14$, или $y < 3.5$. Также выражение $14 - 4y$ должно быть кратно 3.

Переберем возможные целые значения для $y$ от 1 до 3.

При $y = 1$: $z = \frac{14 - 4(1)}{3} = \frac{10}{3}$. Не является целым числом.

При $y = 2$: $z = \frac{14 - 4(2)}{3} = \frac{14 - 8}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Является целым числом.

При $y = 3$: $z = \frac{14 - 4(3)}{3} = \frac{14 - 12}{3} = \frac{2}{3}$. Не является целым числом.

Единственное целочисленное решение, удовлетворяющее условиям, это $y=2$ и $z=2$.

Таким образом, мы нашли единственное решение в целых положительных числах: $x=2$, $y=2$, $z=2$.

Проверим найденное решение, подставив его в исходное уравнение: $350(2) + 80(2) + 60(2) = 700 + 160 + 120 = 980$. Равенство $980 = 980$ выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Таким образом, количество цехов первого типа — 2, количество цехов второго типа — 2, количество цехов третьего типа — 2.

Ответ: 2 цеха первого типа, 2 цеха второго типа, 2 цеха третьего типа.

513. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значения переменной (переменных):

1) $(\frac{1}{a} + \frac{1}{a-8})(a - 4 - \frac{16}{a-4});$

2) $\frac{a}{b-a} - \frac{ac}{b-c} \cdot \left( \frac{b+c}{bc-ac} - \frac{a+b}{ab-a^2} + \frac{b}{ac} \right).$

1)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной при всех допустимых значениях, необходимо его упростить. Если в результате упрощения получится число (константа), то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a-8} \right) \left( a - 4 - \frac{16}{a-4} \right) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$ определяется из условий, что знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $ a \neq 0 $, $ a - 8 \neq 0 \implies a \neq 8 $ и $ a - 4 \neq 0 \implies a \neq 4 $.

Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.

Действие в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-8)$: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{a-8} = \frac{1 \cdot (a-8)}{a(a-8)} + \frac{1 \cdot a}{a(a-8)} = \frac{a-8+a}{a(a-8)} = \frac{2a-8}{a(a-8)} = \frac{2(a-4)}{a(a-8)} $.

Действие во второй скобке. Приведем выражение к общему знаменателю $a-4$: $ a - 4 - \frac{16}{a-4} = \frac{(a-4)(a-4)}{a-4} - \frac{16}{a-4} = \frac{(a-4)^2 - 16}{a-4} $.

Числитель полученной дроби можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $ (a-4)^2 - 16 = (a-4)^2 - 4^2 = ((a-4)-4)((a-4)+4) = (a-8)a $.

Таким образом, вторая скобка равна: $ \frac{a(a-8)}{a-4} $.

Теперь перемножим результаты, полученные для каждой из скобок: $ \frac{2(a-4)}{a(a-8)} \cdot \frac{a(a-8)}{a-4} $.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$, $a-8$, $a-4$): $ \frac{2\cancel{(a-4)}}{\cancel{a}\cancel{(a-8)}} \cdot \frac{\cancel{a}\cancel{(a-8)}}{\cancel{a-4}} = 2 $.

В результате упрощения мы получили число 2. Это означает, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения постоянно и не зависит от переменной.

Ответ: 2.

2)

Рассмотрим выражение: $ \frac{a}{b-a} - \frac{ac}{b-c} \cdot \left( \frac{b+c}{bc-ac} - \frac{a+b}{ab-a^2} + \frac{b}{ac} \right) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неравенства нулю знаменателей: $ b-a \neq 0 \implies a \neq b $; $ b-c \neq 0 \implies b \neq c $; $ bc-ac = c(b-a) \neq 0 \implies c \neq 0, a \neq b $; $ ab-a^2 = a(b-a) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq b $; $ ac \neq 0 \implies a \neq 0, c \neq 0 $. Итого ОДЗ: $ a \neq 0 $, $ c \neq 0 $, $ a \neq b $, $ b \neq c $.

Согласно правилам порядка действий, сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и в последнюю очередь вычитание.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю. $ \frac{b+c}{c(b-a)} - \frac{a+b}{a(b-a)} + \frac{b}{ac} $. Общий знаменатель: $ ac(b-a) $. $ \frac{a(b+c)}{ac(b-a)} - \frac{c(a+b)}{ac(b-a)} + \frac{b(b-a)}{ac(b-a)} = \frac{a(b+c) - c(a+b) + b(b-a)}{ac(b-a)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $ \frac{ab+ac - ac-bc + b^2-ab}{ac(b-a)} = \frac{(ab-ab) + (ac-ac) - bc + b^2}{ac(b-a)} = \frac{b^2-bc}{ac(b-a)} $.

Вынесем общий множитель $b$ в числителе: $ \frac{b(b-c)}{ac(b-a)} $.

2. Выполним умножение: $ \frac{ac}{b-c} \cdot \frac{b(b-c)}{ac(b-a)} $. Сократим общие множители $ac$ и $(b-c)$: $ \frac{\cancel{ac}}{\cancel{b-c}} \cdot \frac{b(\cancel{b-c})}{\cancel{ac}(b-a)} = \frac{b}{b-a} $.

3. Выполним вычитание: $ \frac{a}{b-a} - \frac{b}{b-a} = \frac{a-b}{b-a} $.

Вынесем в числителе -1 за скобки: $ \frac{-(b-a)}{b-a} = -1 $.

В результате упрощения мы получили число -1. Это означает, что при всех допустимых значениях переменных $a, b, c$ значение выражения постоянно.

Ответ: -1.

514. Решите неравенство:

1) $(3x - 2)^2 - (3x - 1)(2x + 3) < 3x(x - 7);$

2) $-3x^2 - 10x + 48 \leq 0.$

1) Решим неравенство $(3x - 2)^2 - (3x - 1)(2x + 3) < 3x(x - 7)$.
Для начала раскроем все скобки и упростим выражение.
Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
Раскроем произведение двух скобок:
$(3x - 1)(2x + 3) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 = 6x^2 + 9x - 2x - 3 = 6x^2 + 7x - 3$.
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$3x(x - 7) = 3x^2 - 21x$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$(9x^2 - 12x + 4) - (6x^2 + 7x - 3) < 3x^2 - 21x$.
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$9x^2 - 12x + 4 - 6x^2 - 7x + 3 < 3x^2 - 21x$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 - 6x^2) + (-12x - 7x) + (4 + 3) < 3x^2 - 21x$.
$3x^2 - 19x + 7 < 3x^2 - 21x$.
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Заметим, что $3x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются.
$-19x + 21x < -7$.
$2x < -7$.
Разделим обе части неравенства на 2:
$x < -\frac{7}{2}$.
$x < -3.5$.
Решение можно записать в виде интервала.
Ответ: $x \in (-\infty; -3.5)$.

2) Решим неравенство $-3x^2 - 10x + 48 \le 0$.
Это квадратичное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $-3x^2 - 10x + 48 = 0$.
Для удобства умножим обе части уравнения на -1:
$3x^2 + 10x - 48 = 0$.
Найдем корни с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 100 + 576 = 676$.
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-10 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-36}{6} = -6$.
$x_2 = \frac{-10 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.
Теперь вернемся к неравенству $-3x^2 - 10x + 48 \le 0$. Графиком функции $y = -3x^2 - 10x + 48$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-3 < 0$), ветви параболы направлены вниз.
Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -6$ и $x = \frac{8}{3}$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых $y \le 0$, то есть где график параболы находится на оси Ox или ниже нее. Поскольку ветви параболы направлены вниз, это происходит на двух промежутках: слева от меньшего корня и справа от большего корня.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -6$ или $x \ge \frac{8}{3}$.
Запишем решение в виде объединения промежутков. Так как неравенство нестрогое ($\le$), то точки $x=-6$ и $x=\frac{8}{3}$ включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [\frac{8}{3}; +\infty)$.

515. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{32}$, $\sqrt{30}$, $4\sqrt{3}$, $\frac{1}{2}\sqrt{54}$, $5\sqrt{2}$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Самый удобный способ для этого — привести все числа к виду $\sqrt{a}$, внеся множители под знак корня. Это делается по правилу $b\sqrt{c} = \sqrt{b^2 \cdot c}$ для $b \ge 0$.

Выполним преобразование для каждого числа:

1. Числа $\sqrt{32}$ и $\sqrt{30}$ уже представлены в виде квадратного корня. Их подкоренные выражения равны 32 и 30.

2. Для числа $4\sqrt{3}$ внесем множитель 4 под корень:

$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.

3. Для числа $\frac{1}{2}\sqrt{54}$ внесем множитель $\frac{1}{2}$ под корень:

$\frac{1}{2}\sqrt{54} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 54} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 54} = \sqrt{\frac{54}{4}} = \sqrt{13,5}$.

4. Для числа $5\sqrt{2}$ внесем множитель 5 под корень:

$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.

Теперь мы имеем следующий ряд чисел: $\sqrt{32}$, $\sqrt{30}$, $\sqrt{48}$, $\sqrt{13,5}$, $\sqrt{50}$.

Сравнение чисел, представленных в виде квадратного корня, сводится к сравнению их подкоренных выражений. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, то чем больше подкоренное выражение, тем больше и значение самого корня. Расположим подкоренные выражения в порядке возрастания:

$13,5 < 30 < 32 < 48 < 50$

Следовательно, сами корни в порядке возрастания будут выглядеть так:

$\sqrt{13,5} < \sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{48} < \sqrt{50}$

Заменив преобразованные выражения на исходные числа, мы получим окончательный ответ.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{54}, \sqrt{30}, \sqrt{32}, 4\sqrt{3}, 5\sqrt{2}$.

516. Агрофирма владеет 120 га земли, 18 % которой занимает фруктовый сад. Найдите площадь сада.

Для решения задачи необходимо найти 18% от общей площади земли, которая составляет 120 га.

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби. Для этого необходимо разделить число процентов на 100:

$18\% = \frac{18}{100} = 0.18$

Теперь умножим общую площадь земли на эту десятичную дробь, чтобы найти площадь, которую занимает фруктовый сад:

$120 \text{ га} \cdot 0.18 = 21.6 \text{ га}$

Выполним вычисления:

$120 \cdot 0.18 = 12 \cdot 1.8 = 21.6$

Таким образом, площадь фруктового сада составляет 21,6 га.

Ответ: 21,6 га.

517. Масса соли составляет $24\%$ массы раствора. Сколько килограммов раствора надо взять, чтобы он содержал $96 \text{ кг}$ соли?

Для решения этой задачи необходимо определить общую массу раствора, зная массовую долю соли и массу самой соли.

По условию, масса соли составляет 24% от массы всего раствора. Это можно записать в виде десятичной дроби: $24\% = 0.24$.

Пусть $m_{раствора}$ — это искомая масса раствора в килограммах. Тогда масса соли в этом растворе, $m_{соли}$, вычисляется по формуле:
$m_{соли} = m_{раствора} \cdot 0.24$

Мы знаем, что масса соли должна составлять 96 кг. Подставим это значение в формулу:
$96 = m_{раствора} \cdot 0.24$

Чтобы найти массу раствора, нужно разделить массу соли на ее долю в растворе:
$m_{раствора} = \frac{96}{0.24}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:
$m_{раствора} = \frac{96 \cdot 100}{0.24 \cdot 100} = \frac{9600}{24}$

Теперь выполним деление:
$m_{раствора} = 400$ кг.

Решение с помощью пропорции:

Можно также составить пропорцию. Пусть вся масса раствора ($x$ кг) составляет 100%, а масса соли (96 кг) составляет 24%.
$96 \text{ кг} \quad — \quad 24\%$
$x \text{ кг} \quad — \quad 100\%$

Составим и решим уравнение из пропорции:
$\frac{96}{x} = \frac{24}{100}$
$x = \frac{96 \cdot 100}{24}$
$x = 4 \cdot 100 = 400$ кг.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 400 кг.

518. Найдите процентное содержание олова в руде, если 40 т этой руды содержат 3,2 т олова.

Чтобы найти процентное содержание олова в руде, необходимо массу олова разделить на общую массу руды и полученный результат умножить на 100%.

В данной задаче:
Общая масса руды составляет 40 т.
Масса олова в этой руде составляет 3,2 т.

Сначала найдем, какую долю составляет масса олова от общей массы руды. Для этого выполним деление:

$ \frac{3,2}{40} $

Чтобы упростить вычисление, можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$ \frac{3,2 \times 10}{40 \times 10} = \frac{32}{400} $

Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{32 \div 4}{400 \div 4} = \frac{8}{100} $

Дробь $ \frac{8}{100} $ в виде десятичной дроби записывается как 0,08.

Теперь, чтобы выразить эту долю в процентах, необходимо умножить ее на 100%:

$ 0,08 \times 100\% = 8\% $

Таким образом, процентное содержание олова в руде составляет 8%.

Ответ: 8%.

519. Цена товара выросла с 1200 р. до 1500 р. На сколько процентов повысилась цена?

Чтобы определить, на сколько процентов повысилась цена, необходимо сначала найти абсолютное изменение цены, а затем вычислить, какую долю это изменение составляет от первоначальной цены, и выразить эту долю в процентах.

1. Найдём абсолютное изменение цены. Для этого вычтем первоначальную цену из новой:
$1500 \text{ р.} - 1200 \text{ р.} = 300 \text{ р.}$
Таким образом, цена выросла на 300 рублей.

2. Теперь рассчитаем, сколько процентов составляет это увеличение от первоначальной цены. Первоначальная цена, 1200 р., принимается за 100%. Чтобы найти процентное увеличение, нужно разделить абсолютное увеличение на первоначальную цену и умножить результат на 100%.
Формула для расчёта процентного изменения:
$\text{Процентное увеличение} = \frac{\text{разница в цене}}{\text{первоначальная цена}} \times 100\%$

Подставим наши значения в формулу:
$\frac{300}{1200} \times 100\%$
Выполним вычисления:
$\frac{300}{1200} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$
Теперь умножим полученное десятичное число на 100%, чтобы перевести его в проценты:
$0.25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: цена повысилась на 25%.