Номер 508, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

508. Два рабочих изготовили по 60 одинаковых деталей, причем 30 деталей каждый из них сделал, работая с некоторой производительностью, которая у второго рабочего была на $20 \%$ выше, чем у первого. Потом первый рабочий стал изготавливать больше на 2 детали в час, а второй – на 3 детали в час. Первый рабочий потратил на выполнение всего задания не менее 5 ч 30 мин, а второй – не более 4 ч 30 мин. Сколько деталей в час изготавливал второй рабочий во время выполнения первой половины задания?

Пусть $x$ деталей в час – первоначальная производительность первого рабочего. Согласно условию, производительность второго рабочего была на 20% выше, следовательно, она составляла $x + 0.2x = 1.2x$ деталей в час.

Каждый рабочий должен был изготовить 60 деталей. Задание было разделено на две равные части по 30 деталей.

Первый рабочий на изготовление первой половины задания (30 деталей) затратил $\frac{30}{x}$ часов. Затем его производительность увеличилась на 2 детали в час и стала $x + 2$ деталей в час. На вторую половину задания он затратил $\frac{30}{x+2}$ часов. Общее время работы первого рабочего составило $T_1 = \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2}$. По условию, это время составляет не менее 5 часов 30 минут (5.5 часов).

Второй рабочий на первую половину задания затратил $\frac{30}{1.2x}$ часов. Затем его производительность увеличилась на 3 детали в час и стала $1.2x + 3$ деталей в час. На вторую половину он затратил $\frac{30}{1.2x+3}$ часов. Общее время работы второго рабочего составило $T_2 = \frac{30}{1.2x} + \frac{30}{1.2x+3}$. По условию, это время составляет не более 4 часов 30 минут (4.5 часов).

Составим систему неравенств, исходя из условий задачи, где $x > 0$:$$ \begin{cases} \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2} \ge 5.5 \\ \frac{30}{1.2x} + \frac{30}{1.2x+3} \le 4.5 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:$$ \frac{30(x+2) + 30x}{x(x+2)} \ge \frac{11}{2} $$$$ \frac{60x + 60}{x^2 + 2x} \ge \frac{11}{2} $$Поскольку $x > 0$, знаменатель $x^2 + 2x$ положителен. Умножим обе части неравенства на $2(x^2 + 2x)$:$$ 2(60x + 60) \ge 11(x^2 + 2x) $$$$ 120x + 120 \ge 11x^2 + 22x $$$$ 11x^2 - 98x - 120 \le 0 $$Найдем корни квадратного уравнения $11x^2 - 98x - 120 = 0$.Дискриминант $D = (-98)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-120) = 9604 + 5280 = 14884 = 122^2$.Корни уравнения: $x_1 = \frac{98 - 122}{22} = -\frac{12}{11}$ и $x_2 = \frac{98 + 122}{22} = 10$.Решением неравенства является промежуток $[-\frac{12}{11}, 10]$. Учитывая, что $x > 0$, получаем $0 < x \le 10$.

Решим второе неравенство:$$ \frac{30}{1.2x} + \frac{30}{1.2x+3} \le 4.5 $$$$ \frac{25}{x} + \frac{30}{1.2x+3} \le \frac{9}{2} $$$$ \frac{25(1.2x+3) + 30x}{x(1.2x+3)} \le \frac{9}{2} $$$$ \frac{30x + 75 + 30x}{1.2x^2 + 3x} \le \frac{9}{2} $$$$ \frac{60x + 75}{1.2x^2 + 3x} \le \frac{9}{2} $$Поскольку $x > 0$, знаменатель $1.2x^2 + 3x$ положителен. Умножим обе части на $2(1.2x^2 + 3x)$:$$ 2(60x+75) \le 9(1.2x^2+3x) $$$$ 120x + 150 \le 10.8x^2 + 27x $$$$ 10.8x^2 - 93x - 150 \ge 0 $$Умножим на 10 для удобства: $108x^2 - 930x - 1500 \ge 0$. Разделим на 6: $18x^2 - 155x - 250 \ge 0$.Найдем корни уравнения $18x^2 - 155x - 250 = 0$.Дискриминант $D = (-155)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-250) = 24025 + 18000 = 42025 = 205^2$.Корни уравнения: $x_1 = \frac{155 - 205}{36} = -\frac{50}{36} = -\frac{25}{18}$ и $x_2 = \frac{155 + 205}{36} = 10$.Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -\frac{25}{18}] \cup [10, +\infty)$. Учитывая, что $x > 0$, получаем $x \ge 10$.

Теперь объединим решения обоих неравенств:$$ \begin{cases} 0 < x \le 10 \\ x \ge 10 \end{cases} $$Единственным значением, удовлетворяющим системе, является $x = 10$.Таким образом, первоначальная производительность первого рабочего была 10 деталей в час.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти, сколько деталей в час изготавливал второй рабочий во время выполнения первой половины задания. Это его первоначальная производительность, которая равна $1.2x$.$1.2 \cdot 10 = 12$ деталей в час.

Ответ: 12.