Номер 505, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

505. Пристань A находится выше по течению реки, чем пристань B. От пристаней A и B одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Добравшись до пристани A, лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент времени, когда он проплыл $\frac{2}{3}$ расстояния между пристанями A и B. Найдите время, которое тратит плот на путь от пристани A до пристани B, если известно, что моторная лодка проплывает путь от пристани B до пристани A и обратно за 3 ч.

Найдите время, которое тратит плот на путь от пристани А до пристани B

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B.
• $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде).
• $v_т$ – скорость течения реки. Эта же скорость является скоростью плота.

Пристань А находится выше по течению, значит, плот движется от А к B по течению, а лодка сначала движется от B к А против течения, а затем от А к B по течению.

1. Составим уравнения на основе условий задачи.

Известно, что моторная лодка проплывает путь от пристани B до пристани A и обратно за 3 часа.
Время движения лодки от B до A (против течения) равно $t_1 = \frac{S}{v_л - v_т}$.
Время движения лодки от A до B (по течению) равно $t_2 = \frac{S}{v_л + v_т}$.
Суммарное время составляет 3 часа, следовательно, получаем первое уравнение:

$\frac{S}{v_л - v_т} + \frac{S}{v_л + v_т} = 3$ (1)

Второе условие гласит, что лодка, дойдя до пристани А, повернула обратно и догнала плот в тот момент, когда он проплыл $\frac{2}{3}$ расстояния между A и B.
Время, за которое плот проплыл расстояние $\frac{2}{3}S$, равно $t_{встречи} = \frac{\frac{2}{3}S}{v_т} = \frac{2S}{3v_т}$.
За это же время лодка проплыла от B до A (расстояние $S$ против течения) и от A до точки встречи (расстояние $\frac{2}{3}S$ по течению). Время движения лодки: $t_{встречи} = \frac{S}{v_л - v_т} + \frac{\frac{2}{3}S}{v_л + v_т}$.
Приравнивая время движения плота и лодки до момента встречи, получаем второе уравнение:

$\frac{2S}{3v_т} = \frac{S}{v_л - v_т} + \frac{2S}{3(v_л + v_т)}$ (2)

2. Решим систему уравнений.

Разделим обе части уравнения (2) на $S$ (так как $S \neq 0$):

$\frac{2}{3v_т} = \frac{1}{v_л - v_т} + \frac{2}{3(v_л + v_т)}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $3(v_л - v_т)(v_л + v_т)$:

$\frac{2}{3v_т} = \frac{3(v_л + v_т) + 2(v_л - v_т)}{3(v_л^2 - v_т^2)}$

$\frac{2}{3v_т} = \frac{3v_л + 3v_т + 2v_л - 2v_т}{3(v_л^2 - v_т^2)}$

$\frac{2}{3v_т} = \frac{5v_л + v_т}{3(v_л^2 - v_т^2)}$

Сократим на 3 обе части уравнения и воспользуемся правилом пропорции:

$2(v_л^2 - v_т^2) = v_т(5v_л + v_т)$

$2v_л^2 - 2v_т^2 = 5v_лv_т + v_т^2$

$2v_л^2 - 5v_лv_т - 3v_т^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $v_т^2$ (так как $v_т \neq 0$):

$2\left(\frac{v_л}{v_т}\right)^2 - 5\left(\frac{v_л}{v_т}\right) - 3 = 0$

Сделаем замену $x = \frac{v_л}{v_т}$. Получаем квадратное уравнение:

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Так как скорости $v_л$ и $v_т$ — положительные величины, их отношение также должно быть положительным. Следовательно, подходит только корень $x=3$.

Таким образом, мы нашли соотношение скоростей: $\frac{v_л}{v_т} = 3$, откуда $v_л = 3v_т$.

3. Найдем искомое время.

Нам нужно найти время, которое тратит плот на путь от пристани A до пристани B, то есть величину $T_{плот} = \frac{S}{v_т}$.
Подставим найденное соотношение $v_л = 3v_т$ в первое уравнение:

$\frac{S}{3v_т - v_т} + \frac{S}{3v_т + v_т} = 3$

$\frac{S}{2v_т} + \frac{S}{4v_т} = 3$

Вынесем за скобки искомое выражение $\frac{S}{v_т}$:

$\frac{S}{v_т} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 3$

$\frac{S}{v_т} \left(\frac{2+1}{4}\right) = 3$

$\frac{S}{v_т} \cdot \frac{3}{4} = 3$

$\frac{S}{v_т} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$

Таким образом, время, которое тратит плот на весь путь от А до B, составляет 4 часа.

Ответ: 4 часа.