Номер 499, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

499. Лодка прошла 34 км по течению реки и 39 км против течения, потратив на это столько времени, сколько ей требуется, чтобы проплыть в стоячей воде 75 км. Найдите отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
Пусть $v_л$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), в км/ч.
Пусть $v_т$ — скорость течения реки, в км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $v_л + v_т$, а скорость против течения — $v_л - v_т$.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время, которое лодка плыла по течению (34 км), равно $t_1 = \frac{34}{v_л + v_т}$.
Время, которое лодка плыла против течения (39 км), равно $t_2 = \frac{39}{v_л - v_т}$.

Общее время, затраченное на путь по реке, равно сумме этих времен:
$T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{34}{v_л + v_т} + \frac{39}{v_л - v_т}$

Время, которое требуется лодке, чтобы проплыть 75 км в стоячей воде (то есть с собственной скоростью), равно:
$T_{озеро} = \frac{75}{v_л}$

Согласно условию задачи, эти два времени равны:
$T_{река} = T_{озеро}$
$\frac{34}{v_л + v_т} + \frac{39}{v_л - v_т} = \frac{75}{v_л}$

Нам необходимо найти отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения, то есть величину $\frac{v_л}{v_т}$. Обозначим это отношение переменной $k$:
$k = \frac{v_л}{v_т}$
Отсюда можно выразить $v_л = k \cdot v_т$. Стоит отметить, что для возможности движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения ($v_л > v_т$), а значит, искомое отношение $k$ должно быть больше 1.

Подставим выражение $v_л = k \cdot v_т$ в основное уравнение:
$\frac{34}{k \cdot v_т + v_т} + \frac{39}{k \cdot v_т - v_т} = \frac{75}{k \cdot v_т}$

В знаменателях вынесем $v_т$ за скобки:
$\frac{34}{v_т(k + 1)} + \frac{39}{v_т(k - 1)} = \frac{75}{v_т \cdot k}$

Так как скорость течения $v_т$ не равна нулю, мы можем умножить обе части уравнения на $v_т$, чтобы сократить эту переменную:
$\frac{34}{k + 1} + \frac{39}{k - 1} = \frac{75}{k}$

Теперь решим это уравнение относительно $k$. Приведем левую часть к общему знаменателю $(k + 1)(k - 1) = k^2 - 1$:
$\frac{34(k - 1) + 39(k + 1)}{(k + 1)(k - 1)} = \frac{75}{k}$
$\frac{34k - 34 + 39k + 39}{k^2 - 1} = \frac{75}{k}$
$\frac{73k + 5}{k^2 - 1} = \frac{75}{k}$

Используя правило пропорции (перекрестное умножение), получим:
$k(73k + 5) = 75(k^2 - 1)$
$73k^2 + 5k = 75k^2 - 75$

Соберем все члены уравнения в одной части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$75k^2 - 73k^2 - 5k - 75 = 0$
$2k^2 - 5k - 75 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a = 2, b = -5, c = -75$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75) = 25 + 600 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Найдем корни уравнения:
$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 25}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 25}{4} = \frac{30}{4} = 7,5$
$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 25}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 25}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

Так как $k$ — это отношение двух положительных скоростей и, по физическому смыслу задачи, $k > 1$, то корень $k_2 = -5$ является посторонним. Следовательно, искомое отношение равно 7,5.

Ответ: 7,5