Номер 495, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

495. Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 6 ч. Если первый тракторист проработает самостоятельно 4 ч, а затем его сменит второй, то этот тракторист закончит вспашку за 9 ч. За какое время, работая самостоятельно, может вспахать поле каждый тракторист?

Для решения задачи примем всю работу по вспашке поля за единицу (1).

Пусть $v_1$ — это производительность первого тракториста (какую часть поля он вспахивает за 1 час), а $v_2$ — производительность второго тракториста.

Тогда время, за которое каждый тракторист может вспахать поле в одиночку, будет $t_1 = \frac{1}{v_1}$ для первого и $t_2 = \frac{1}{v_2}$ для второго.

Из первого условия известно, что работая вместе, они вспахивают поле за 6 часов. Их совместная производительность составляет $v_1 + v_2$. Используя формулу "Работа = Производительность × Время", получаем первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \times 6 = 1$

Отсюда следует:

$v_1 + v_2 = \frac{1}{6}$

Из второго условия известно, что если первый тракторист работает 4 часа, а затем второй работает 9 часов, они также выполняют всю работу. Составим второе уравнение, сложив объемы работы, выполненные каждым трактористом:

Работа первого: $4 \times v_1$

Работа второго: $9 \times v_2$

Суммарная работа: $4v_1 + 9v_2 = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = \frac{1}{6} \\ 4v_1 + 9v_2 = 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Выразим $v_1$ из первого уравнения:

$v_1 = \frac{1}{6} - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4 \left( \frac{1}{6} - v_2 \right) + 9v_2 = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_2$:

$\frac{4}{6} - 4v_2 + 9v_2 = 1$

$\frac{2}{3} + 5v_2 = 1$

$5v_2 = 1 - \frac{2}{3}$

$5v_2 = \frac{1}{3}$

$v_2 = \frac{1}{15}$

Итак, производительность второго тракториста составляет $\frac{1}{15}$ поля в час. Время, за которое он вспашет все поле самостоятельно, равно:

$t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1/15} = 15$ часов.

Теперь найдем производительность первого тракториста, подставив значение $v_2$ в выражение для $v_1$:

$v_1 = \frac{1}{6} - v_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_1 = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

Производительность первого тракториста составляет $\frac{1}{10}$ поля в час. Время, за которое он вспашет все поле самостоятельно, равно:

$t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/10} = 10$ часов.

Ответ: первый тракторист может вспахать поле самостоятельно за 10 часов, а второй — за 15 часов.