Страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

490. От станции $M$ в направлении станции $N$, расстояние между которыми равно 450 км, отправился скорый поезд. Через 3 ч после этого от станции $N$ в направлении станции $M$ отправился товарный поезд, который встретился со скорым через 3 ч после своего выхода. Скорый поезд преодолевает расстояние между станциями $M$ и $N$ на 7 ч 30 мин быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть $v_с$ — скорость скорого поезда в км/ч, а $v_т$ — скорость товарного поезда в км/ч.

Расстояние между станциями M и N равно 450 км.

Скорый поезд выехал из M в N. Через 3 часа после этого из N в M выехал товарный поезд. Они встретились через 3 часа после выезда товарного поезда.

Это означает, что к моменту встречи товарный поезд находился в пути 3 часа, а скорый поезд — $3 + 3 = 6$ часов.

За 6 часов скорый поезд проехал расстояние $S_с = 6 \cdot v_с$ км.

За 3 часа товарный поезд проехал расстояние $S_т = 3 \cdot v_т$ км.

Поскольку поезда двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между станциями. Составим первое уравнение: $S_с + S_т = 450$ $6v_с + 3v_т = 450$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения: $2v_с + v_т = 150$

Известно, что скорый поезд проходит все расстояние на 7 ч 30 мин быстрее товарного. Переведем это время в часы: $7$ ч $30$ мин $= 7.5$ часа.

Время, за которое скорый поезд проходит весь путь в 450 км, равно $T_с = \frac{450}{v_с}$ ч.

Время, за которое товарный поезд проходит тот же путь, равно $T_т = \frac{450}{v_т}$ ч.

Так как скорый поезд быстрее, его время в пути меньше. Составим второе уравнение: $T_т - T_с = 7.5$ $\frac{450}{v_т} - \frac{450}{v_с} = 7.5$

Получили систему из двух уравнений: $ \begin{cases} 2v_с + v_т = 150 \\ \frac{450}{v_т} - \frac{450}{v_с} = 7.5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v_т$: $v_т = 150 - 2v_с$

Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{450}{150 - 2v_с} - \frac{450}{v_с} = 7.5$

Разделим обе части уравнения на 7.5 (так как $450 / 7.5 = 60$): $\frac{60}{150 - 2v_с} - \frac{60}{v_с} = 1$

Умножим обе части на $v_с(150 - 2v_с)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $v_с \ne 0$ и $150 - 2v_с \ne 0$): $60v_с - 60(150 - 2v_с) = v_с(150 - 2v_с)$ $60v_с - 9000 + 120v_с = 150v_с - 2v_с^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $180v_с - 9000 = 150v_с - 2v_с^2$ $2v_с^2 + 180v_с - 150v_с - 9000 = 0$ $2v_с^2 + 30v_с - 9000 = 0$

Разделим уравнение на 2: $v_с^2 + 15v_с - 4500 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{18225} = 135$: $v_{с1} = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$ $v_{с2} = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому подходит только первый корень. Таким образом, скорость скорого поезда $v_с = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость товарного поезда: $v_т = 150 - 2v_с = 150 - 2 \cdot 60 = 150 - 120 = 30$ км/ч.

Проверка:
Время в пути скорого поезда: $\frac{450 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 7.5$ ч.
Время в пути товарного поезда: $\frac{450 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 15$ ч.
Разница во времени: $15 - 7.5 = 7.5$ ч, что соответствует 7 ч 30 мин. Условие выполнено.
До встречи скорый поезд проехал $6 \text{ ч} \cdot 60 \text{ км/ч} = 360$ км. Товарный поезд проехал $3 \text{ ч} \cdot 30 \text{ км/ч} = 90$ км. Сумма расстояний $360 + 90 = 450$ км. Условие выполнено.

Ответ: скорость скорого поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 30 км/ч.

491. Турист проплыл на лодке по реке от пристани А до пристани В и вернулся обратно за 6 ч. Найдите скорость течения реки, если 2 км по течению реки турист проплывает за то же время, что и 1 км против течения, а расстояние между пристанями А и В составляет 16 км.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) в км/ч, а $v_т$ — это скорость течения реки в км/ч.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения и равна $(v_л + v_т)$ км/ч.
Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения и равна $(v_л - v_т)$ км/ч.

Из условия известно, что 2 км по течению реки турист проплывает за то же время, что и 1 км против течения. Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Составим уравнение на основе этого условия:
$t_{по\_течению} = t_{против\_течения}$
$\frac{2}{v_л + v_т} = \frac{1}{v_л - v_т}$

Преобразуем это уравнение, чтобы найти соотношение между скоростью лодки и скоростью течения. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2(v_л - v_т) = 1(v_л + v_т)$
$2v_л - 2v_т = v_л + v_т$
$2v_л - v_л = v_т + 2v_т$
$v_л = 3v_т$
Это означает, что собственная скорость лодки в три раза больше скорости течения реки.

Общее расстояние между пристанями А и В составляет 16 км. Турист проплыл это расстояние туда и обратно, затратив на весь путь 6 часов. Составим второе уравнение, суммируя время движения по течению и против течения:
$t_{туда} + t_{обратно} = T_{общ}$
$\frac{16}{v_л + v_т} + \frac{16}{v_л - v_т} = 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение $v_л = 3v_т$ из первого уравнения во второе, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $v_т$:
$\frac{16}{3v_т + v_т} + \frac{16}{3v_т - v_т} = 6$
$\frac{16}{4v_т} + \frac{16}{2v_т} = 6$

Упростим и решим полученное уравнение:
$\frac{4}{v_т} + \frac{8}{v_т} = 6$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{4 + 8}{v_т} = 6$
$\frac{12}{v_т} = 6$
Теперь найдем $v_т$:
$12 = 6v_т$
$v_т = \frac{12}{6}$
$v_т = 2$

Таким образом, мы нашли, что скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

492. Два друга в одной лодке проплыли по реке вдоль берега и вернулись по тому же самому маршруту по реке через 5 ч после момента отплытия. Весь путь составил 10 км. Каждые 2 км против течения они проплывали за то же время, что и каждые 3 км по течению. Найдите скорость течения.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_л$ — собственная скорость лодки (в стоячей воде) в км/ч.
• $v_т$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость лодки по течению будет $v_{по} = v_л + v_т$, а скорость против течения — $v_{против} = v_л - v_т$.

1. Определим расстояние в одну сторону. Весь путь туда и обратно составил 10 км. Это значит, что расстояние в одну сторону равно $S = 10 / 2 = 5$ км.

2. Составим первое уравнение на основе соотношения времени и расстояния. По условию, каждые 2 км против течения лодка проплывала за то же время, что и каждые 3 км по течению. Время вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, мы можем записать равенство: $t_{2км\_против} = t_{3км\_по}$ $\frac{2}{v_{против}} = \frac{3}{v_{по}}$ Подставим выражения для скоростей: $\frac{2}{v_л - v_т} = \frac{3}{v_л + v_т}$ Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $2(v_л + v_т) = 3(v_л - v_т)$ $2v_л + 2v_т = 3v_л - 3v_т$ $2v_т + 3v_т = 3v_л - 2v_л$ $5v_т = v_л$ Мы получили важное соотношение: собственная скорость лодки в 5 раз больше скорости течения.

3. Составим второе уравнение на основе общего времени в пути. Общее время в пути составляет 5 часов. Оно складывается из времени движения по течению ($t_{по}$) и времени движения против течения ($t_{против}$): $t_{по} + t_{против} = 5$ $\frac{S}{v_{по}} + \frac{S}{v_{против}} = 5$ Подставим значение расстояния $S=5$ км: $\frac{5}{v_л + v_т} + \frac{5}{v_л - v_т} = 5$ Можно разделить все уравнение на 5 для упрощения: $\frac{1}{v_л + v_т} + \frac{1}{v_л - v_т} = 1$

4. Решим систему уравнений. Теперь подставим выражение $v_л = 5v_т$ из шага 2 в упрощенное уравнение из шага 3: $\frac{1}{5v_т + v_т} + \frac{1}{5v_т - v_т} = 1$ $\frac{1}{6v_т} + \frac{1}{4v_т} = 1$ Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $12v_т$: $\frac{2}{12v_т} + \frac{3}{12v_т} = 1$ $\frac{5}{12v_т} = 1$ Отсюда следует, что: $12v_т = 5$ $v_т = \frac{5}{12}$

Таким образом, скорость течения реки составляет $\frac{5}{12}$ км/ч.
Ответ: $\frac{5}{12}$ км/ч.

493. Две бригады, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 8 дней. Если первая бригада, работая самостоятельно, выполнит $\frac{1}{3}$ задания, а затем её сменит вторая бригада, то задание будет выполнено за 20 дней. За сколько дней каждая бригада может выполнить данное производственное задание, работая самостоятельно?

Примем весь объем производственного задания за 1 (единицу).

Пусть $x$ — это количество дней, за которое первая бригада может выполнить все задание, работая самостоятельно.
Пусть $y$ — это количество дней, за которое вторая бригада может выполнить все задание, работая самостоятельно.

Тогда производительность (скорость работы) первой бригады составляет $\frac{1}{x}$ задания в день, а производительность второй бригады — $\frac{1}{y}$ задания в день.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

1. «Две бригады, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 8 дней.»
Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.
За 8 дней они выполняют всю работу, что дает нам первое уравнение:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 8 = 1$, или $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$.

2. «Если первая бригада, работая самостоятельно, выполнит $\frac{1}{3}$ задания, а затем ее сменит вторая бригада, то задание будет выполнено за 20 дней.»
Время, которое первая бригада затратит на выполнение $\frac{1}{3}$ задания, равно: $t_1 = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = \frac{x}{3}$ дней.
После этого второй бригаде останется выполнить $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ задания.
Время, которое вторая бригада затратит на выполнение оставшейся части, равно: $t_2 = \frac{2/3}{1/y} = \frac{2y}{3}$ дней.
Общее время выполнения составляет 20 дней, что дает нам второе уравнение:
$t_1 + t_2 = 20$, или $\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 20$.

Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \\\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 20\end{cases}$

Из второго уравнения (умножив его на 3) выразим $x$:
$x + 2y = 60$
$x = 60 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$\frac{1}{60 - 2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{y + (60 - 2y)}{y(60 - 2y)} = \frac{1}{8}$

$\frac{60 - y}{60y - 2y^2} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$8(60 - y) = 1(60y - 2y^2)$

$480 - 8y = 60y - 2y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2y^2 - 68y + 480 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$y^2 - 34y + 240 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1156 - 960 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 \pm 14}{2}$

Получаем два возможных решения для $y$:

$y_1 = \frac{34 + 14}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$y_2 = \frac{34 - 14}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого случая, используя $x = 60 - 2y$.

Случай 1: Если $y_1 = 24$ (время работы второй бригады 24 дня).

$x_1 = 60 - 2 \cdot 24 = 60 - 48 = 12$ (время работы первой бригады 12 дней).

Случай 2: Если $y_2 = 10$ (время работы второй бригады 10 дней).

$x_2 = 60 - 2 \cdot 10 = 60 - 20 = 40$ (время работы первой бригады 40 дней).

Оба решения удовлетворяют условиям задачи, так как проверка (как было показано при решении) подтверждает их правильность. Таким образом, задача имеет два возможных ответа.

Ответ: Существует два возможных варианта: первая бригада может выполнить задание за 12 дней, а вторая — за 24 дня; либо первая бригада может выполнить задание за 40 дней, а вторая — за 10 дней.

494. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен за 12 ч. Если сначала наполнять бассейн только через первую трубу в течение 5 ч, а затем только через вторую в течение 9 ч, то водой будет наполнена половина бассейна. За сколько часов может быть наполнен бассейн отдельно через каждую трубу?

Примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $x$ — время в часах, за которое первая труба наполняет весь бассейн. Тогда ее производительность (скорость работы) равна $\frac{1}{x}$ бассейна в час.

Пусть $y$ — время в часах, за которое вторая труба наполняет весь бассейн. Ее производительность равна $\frac{1}{y}$ бассейна в час.

Из первого условия задачи известно, что при одновременной работе обеих труб бассейн наполняется за 12 часов. Совместная производительность двух труб равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$12 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1$

Отсюда следует:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Из второго условия известно, что если первая труба работает 5 часов, а затем вторая труба работает 9 часов, то будет наполнена половина бассейна. За 5 часов первая труба выполнит работу, равную $5 \cdot \frac{1}{x}$. За 9 часов вторая труба выполнит работу, равную $9 \cdot \frac{1}{y}$. Суммарно они наполняют $\frac{1}{2}$ бассейна. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ \frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Для удобства решения введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = \frac{1}{12} \\ 5a + 9b = \frac{1}{2} \end{cases}$

Выразим $a$ из первого уравнения: $a = \frac{1}{12} - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5\left(\frac{1}{12} - b\right) + 9b = \frac{1}{2}$

$\frac{5}{12} - 5b + 9b = \frac{1}{2}$

$4b = \frac{1}{2} - \frac{5}{12}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$4b = \frac{6}{12} - \frac{5}{12}$

$4b = \frac{1}{12}$

$b = \frac{1}{12 \cdot 4} = \frac{1}{48}$

Теперь найдем $a$:

$a = \frac{1}{12} - b = \frac{1}{12} - \frac{1}{48} = \frac{4}{48} - \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

Сделаем обратную замену:

Так как $a = \frac{1}{x}$, то $\frac{1}{16} = \frac{1}{x}$, откуда $x = 16$.

Так как $b = \frac{1}{y}$, то $\frac{1}{48} = \frac{1}{y}$, откуда $y = 48$.

Следовательно, первая труба может наполнить бассейн за 16 часов, а вторая — за 48 часов.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 16 часов, вторая труба — за 48 часов.

495. Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 6 ч. Если первый тракторист проработает самостоятельно 4 ч, а затем его сменит второй, то этот тракторист закончит вспашку за 9 ч. За какое время, работая самостоятельно, может вспахать поле каждый тракторист?

Для решения задачи примем всю работу по вспашке поля за единицу (1).

Пусть $v_1$ — это производительность первого тракториста (какую часть поля он вспахивает за 1 час), а $v_2$ — производительность второго тракториста.

Тогда время, за которое каждый тракторист может вспахать поле в одиночку, будет $t_1 = \frac{1}{v_1}$ для первого и $t_2 = \frac{1}{v_2}$ для второго.

Из первого условия известно, что работая вместе, они вспахивают поле за 6 часов. Их совместная производительность составляет $v_1 + v_2$. Используя формулу "Работа = Производительность × Время", получаем первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \times 6 = 1$

Отсюда следует:

$v_1 + v_2 = \frac{1}{6}$

Из второго условия известно, что если первый тракторист работает 4 часа, а затем второй работает 9 часов, они также выполняют всю работу. Составим второе уравнение, сложив объемы работы, выполненные каждым трактористом:

Работа первого: $4 \times v_1$

Работа второго: $9 \times v_2$

Суммарная работа: $4v_1 + 9v_2 = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = \frac{1}{6} \\ 4v_1 + 9v_2 = 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Выразим $v_1$ из первого уравнения:

$v_1 = \frac{1}{6} - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4 \left( \frac{1}{6} - v_2 \right) + 9v_2 = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_2$:

$\frac{4}{6} - 4v_2 + 9v_2 = 1$

$\frac{2}{3} + 5v_2 = 1$

$5v_2 = 1 - \frac{2}{3}$

$5v_2 = \frac{1}{3}$

$v_2 = \frac{1}{15}$

Итак, производительность второго тракториста составляет $\frac{1}{15}$ поля в час. Время, за которое он вспашет все поле самостоятельно, равно:

$t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1/15} = 15$ часов.

Теперь найдем производительность первого тракториста, подставив значение $v_2$ в выражение для $v_1$:

$v_1 = \frac{1}{6} - v_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_1 = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

Производительность первого тракториста составляет $\frac{1}{10}$ поля в час. Время, за которое он вспашет все поле самостоятельно, равно:

$t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/10} = 10$ часов.

Ответ: первый тракторист может вспахать поле самостоятельно за 10 часов, а второй — за 15 часов.

496. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как $5:2$ и $3:4$. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

Для решения задачи составим систему уравнений.

Пусть $x$ кг — масса первого сплава, а $y$ кг — масса второго сплава, которые необходимо взять. По условию, общая масса нового сплава равна 28 кг, следовательно, первое уравнение системы:

$x + y = 28$

Определим содержание меди в каждом сплаве. В первом сплаве соотношение меди и цинка 5:2, значит, массовая доля меди составляет $\frac{5}{5+2} = \frac{5}{7}$. Во втором сплаве соотношение 3:4, значит, массовая доля меди составляет $\frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$.

Масса меди в $x$ кг первого сплава равна $\frac{5}{7}x$ кг.

Масса меди в $y$ кг второго сплава равна $\frac{3}{7}y$ кг.

В итоговом сплаве массой 28 кг содержание меди и цинка должно быть равным, то есть по $\frac{28}{2} = 14$ кг каждого металла. Общая масса меди в новом сплаве складывается из массы меди из первого и второго сплавов. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases}x + y = 28 \\\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14\end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 7, чтобы избавиться от дробей:

$5x + 3y = 98$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases}x + y = 28 \\5x + 3y = 98\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 28 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5x + 3(28 - x) = 98$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$5x + 84 - 3x = 98$

$2x = 98 - 84$

$2x = 14$

$x = 7$

Теперь найдем $y$:

$y = 28 - 7 = 21$

Таким образом, нужно взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго сплава.

Проверим содержание цинка. Массовая доля цинка в первом сплаве $\frac{2}{7}$, во втором — $\frac{4}{7}$.

Масса цинка в 7 кг первого сплава: $7 \cdot \frac{2}{7} = 2$ кг.

Масса цинка в 21 кг второго сплава: $21 \cdot \frac{4}{7} = 12$ кг.

Общая масса цинка: $2 + 12 = 14$ кг.

Общая масса меди: $\frac{5}{7} \cdot 7 + \frac{3}{7} \cdot 21 = 5 + 9 = 14$ кг.

Содержание меди и цинка в новом сплаве действительно равны. Общая масса: $14 + 14 = 28$ кг. Решение верное.

Ответ: нужно взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго сплава.